Stochastik

Ablehnungsbereich bei der Binomialverteilung

Oberstufe

\overline{A} = \{0; \ldots; k\} \text{ mit } P_{p_0}(X \leq k) \leq \alpha < P_{p_0}(X \leq k+1)

Voraussetzung: $X$ $unter$ $H_0$ $binomialverteilt mit$ $n$ $und$ $p_0,$ $linksseitiger Test$

$\overline{A}$: Ablehnungsbereich von H₀
$k$: kritischer Wert, die größte Trefferzahl, die noch im Ablehnungsbereich liegt
$X$: Testgröße, die Anzahl der Treffer in der Stichprobe
$p_0$: Trefferwahrscheinlichkeit laut Nullhypothese
$\alpha$: Signifikanzniveau
$P_{p_0}$: Wahrscheinlichkeit, berechnet mit p = p₀

Der Ablehnungsbereich ist der größte Randbereich, dessen Wahrscheinlichkeit unter H₀ höchstens α beträgt.

Additionssatz

Mittelstufe

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

$A, B$: zwei Ereignisse desselben Zufallsexperiments
$P(A \cup B)$: Wahrscheinlichkeit, dass A oder B (oder beide) eintreten
$P(A \cap B)$: Wahrscheinlichkeit, dass A und B gleichzeitig eintreten
$P(A), P(B)$: Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse

Die Wahrscheinlichkeit für A oder B ist P(A) plus P(B) minus die Wahrscheinlichkeit, dass beide eintreten.

Arithmetisches Mittel

Unterstufe

\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}

Voraussetzung: $n \geq 1$

$\bar{x}$: arithmetisches Mittel, gesprochen „x quer“
$x_1, x_2, \ldots, x_n$: die einzelnen Werte, z.B. Messwerte oder Noten
$n$: Anzahl der Werte

Der Mittelwert ist die Summe aller Werte geteilt durch die Anzahl der Werte.

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Oberstufe

P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}

Voraussetzung: $P(A) > 0$

$P_A(B)$: Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A, auch P(B | A) geschrieben
$A$: Bedingung, das Ereignis, von dem man weiß, dass es eingetreten ist
$B$: Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit gesucht ist
$P(A \cap B)$: Wahrscheinlichkeit, dass A und B beide eintreten
$P(A)$: Wahrscheinlichkeit der Bedingung A

Die Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A ist P(A ∩ B) geteilt durch P(A).

Bestimmtheitsmaß

Studium

R^2 = 1 - \frac{\sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2}{\sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2}

Voraussetzung: $n \geq 2,$ $nicht alle$ $y_i$ $gleich$ $,$ $\hat{y}_i$ $aus einer Kleinste-Quadrate-Regression mit Achsenabschnitt$

$R^2$: Bestimmtheitsmaß, Anteil der durch das Modell erklärten Streuung
$y_i$: beobachtete Werte
$\hat{y}_i$: vom Regressionsmodell vorhergesagte Werte
$\bar{y}$: Mittelwert der beobachteten Werte
$n$: Anzahl der Datenpunkte

Das Bestimmtheitsmaß R² gibt an, welcher Anteil der Streuung der Daten durch das Regressionsmodell erklärt wird.

Binomialkoeffizient

Oberstufe

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}

Voraussetzung: $n, k \in \mathbb{N},$ $0 \leq k \leq n$

$\binom{n}{k}$: Binomialkoeffizient „n über k“, die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge
$n$: Anzahl der Objekte, aus denen ausgewählt wird
$k$: Anzahl der ausgewählten Objekte
$n!, k!, (n-k)!$: Fakultäten, z.B. n! = n · (n−1) · … · 1, mit 0! = 1

n über k zählt die Möglichkeiten, k von n verschiedenen Objekten ohne Beachtung der Reihenfolge auszuwählen.

Binomialverteilung

Oberstufe

P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}

Voraussetzung: $X$ $Trefferzahl einer$ $Bernoulli-Kette$ $,$ $n \geq 1,$ $0 \leq p \leq 1,$ $k \in \{0, 1, \ldots, n\}$

$X$: Zufallsgröße, die Anzahl der Treffer in der Bernoulli-Kette
$n$: Länge der Bernoulli-Kette, also Anzahl der Durchführungen
$k$: Anzahl der Treffer, deren Wahrscheinlichkeit gesucht ist
$p$: Trefferwahrscheinlichkeit bei jeder einzelnen Durchführung
$1-p$: Wahrscheinlichkeit für eine Niete bei jeder Durchführung
$\binom{n}{k}$: Binomialkoeffizient, Anzahl der Pfade mit genau k Treffern

Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer bei n unabhängigen Versuchen mit Trefferwahrscheinlichkeit p.

Chi-Quadrat-Anpassungstest

Studium

\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(N_i - n p_i)^2}{n p_i}

Voraussetzung: $n p_i \geq 5$ $für alle$ $i$ $(Faustregel)$ $,$ $p_1 + \ldots + p_k = 1$

$\chi^2$: Wert der Testgröße
$k$: Anzahl der Klassen (Kategorien)
$N_i$: beobachtete Häufigkeit in Klasse i
$n$: Stichprobenumfang, Summe aller N_i
$p_i$: Wahrscheinlichkeit der Klasse i laut Nullhypothese
$n p_i$: erwartete Häufigkeit in Klasse i unter H₀

Der Chi-Quadrat-Anpassungstest prüft, ob beobachtete Häufigkeiten zu einer vermuteten Verteilung passen.

Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest

Studium

\chi^2 = \sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{c} \frac{(N_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}, \quad E_{ij} = \frac{N_{i\cdot} \cdot N_{\cdot j}}{n}

Voraussetzung: $E_{ij} \geq 5$ $für alle Zellen (Faustregel)$

$\chi^2$: Wert der Testgröße
$r$: Anzahl der Zeilen (Ausprägungen des ersten Merkmals)
$c$: Anzahl der Spalten (Ausprägungen des zweiten Merkmals)
$N_{ij}$: beobachtete Häufigkeit in Zeile i und Spalte j
$E_{ij}$: erwartete Häufigkeit bei Unabhängigkeit
$N_{i\cdot}$: Summe der Zeile i
$N_{\cdot j}$: Summe der Spalte j
$n$: Gesamtzahl der Beobachtungen

Der Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest prüft anhand einer Kreuztabelle, ob zwei Merkmale unabhängig sind.

Dichtefunktion

Oberstufe

P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x

Voraussetzung: $f(x) \geq 0$ $für alle$ $x,$ $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,\mathrm{d}x = 1,$ $a \leq b$

$X$: stetige Zufallsgröße
$f$: Dichtefunktion von X
$a,\ b$: Grenzen des Intervalls, für das die Wahrscheinlichkeit gesucht ist
$x$: Integrationsvariable

Bei einer stetigen Zufallsgröße ist die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall die Fläche unter der Dichtefunktion.

Diskrete Gleichverteilung

Oberstufe

P(X = k) = \frac{1}{n}, \qquad E(X) = \frac{n+1}{2}, \qquad V(X) = \frac{n^2 - 1}{12}

Voraussetzung: $X$ $nimmt die Werte$ $1,$ $2, \ldots, n$ $an$ $,$ $n \geq 1$

$X$: Zufallsgröße, die jeden der Werte 1 bis n mit gleicher Wahrscheinlichkeit annimmt
$k$: einer der möglichen Werte 1, 2, …, n
$n$: Anzahl der möglichen Werte
$E(X)$: Erwartungswert
$V(X)$: Varianz

Nimmt X die Werte 1 bis n gleich wahrscheinlich an, gilt E(X) = (n+1)/2 und V(X) = (n²−1)/12.

Empirische Varianz

Oberstufe

s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2

Voraussetzung: $n \geq 1$

$s^2$: empirische Varianz der Daten
$n$: Anzahl der Datenwerte
$x_i$: der i-te Datenwert
$i$: Laufindex von 1 bis n
$\bar{x}$: arithmetisches Mittel der Daten

Die empirische Varianz ist der Mittelwert der quadrierten Abweichungen der Daten von ihrem Mittelwert.

Erwartungswert

Oberstufe

E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i)

Voraussetzung: $X$ $nimmt genau die verschiedenen Werte$ $x_1, \ldots,$ $x_n$ $an$

$E(X)$: Erwartungswert der Zufallsgröße X, oft auch μ geschrieben
$X$: Zufallsgröße, z.B. Gewinn oder Augenzahl
$x_i$: die möglichen Werte von X
$P(X = x_i)$: Wahrscheinlichkeit, dass X den Wert x_i annimmt
$n$: Anzahl der möglichen Werte
$i$: Laufindex von 1 bis n

Der Erwartungswert ist die Summe aller Werte einer Zufallsgröße, jeweils mit ihrer Wahrscheinlichkeit gewichtet.

Erwartungswert einer stetigen Zufallsgröße

Oberstufe

E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x)\,\mathrm{d}x

Voraussetzung: $X$ $stetig mit Dichte$ $f,$ $\int_{-\infty}^{\infty} |x| \cdot f(x)\,\mathrm{d}x < \infty$

$E(X)$: Erwartungswert der Zufallsgröße X, oft auch μ geschrieben
$X$: stetige Zufallsgröße
$f$: Dichtefunktion von X
$x$: Integrationsvariable, ein möglicher Wert von X

Der Erwartungswert einer stetigen Zufallsgröße ist das Integral über x mal Dichte, der Schwerpunkt der Verteilung.

Erwartungswert und Standardabweichung der Binomialverteilung

Oberstufe

\mu = n \cdot p,\quad \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}

Voraussetzung: $X$ $binomialverteilt$ $,$ $n \in \mathbb{N},$ $n \geq 1,$ $0 \leq p \leq 1$

$\mu$: Erwartungswert E(X) der Trefferzahl
$\sigma$: Standardabweichung der Trefferzahl, Wurzel aus der Varianz V(X)
$n$: Länge der Bernoulli-Kette
$p$: Trefferwahrscheinlichkeit bei jedem Versuch
$1-p$: Nietenwahrscheinlichkeit bei jedem Versuch

Für eine binomialverteilte Trefferzahl gilt μ = n · p und σ = √(n · p · (1 − p)).

Erwartungswert und Varianz der Exponentialverteilung

Studium

E(X) = \frac{1}{\lambda}, \qquad V(X) = \frac{1}{\lambda^2}, \qquad \sigma = \frac{1}{\lambda}

Voraussetzung: $X$ $exponentialverteilt mit Rate$ $\lambda > 0$

$X$: exponentialverteilte Zufallsgröße, z.B. Wartezeit oder Lebensdauer
$E(X)$: Erwartungswert, die mittlere Wartezeit
$V(X)$: Varianz, auch Var(X) geschrieben
$\sigma$: Standardabweichung
$\lambda$: Rate, mittlere Anzahl Ereignisse pro Zeiteinheit

Bei der Exponentialverteilung mit Rate λ sind Erwartungswert und Standardabweichung beide 1/λ, die Varianz ist 1/λ².

Erwartungswert und Varianz der Poisson-Verteilung

Studium

E(X) = \lambda, \qquad V(X) = \lambda, \qquad \sigma = \sqrt{\lambda}

Voraussetzung: $X$ $Poisson-verteilt mit Parameter$ $\lambda > 0$

$X$: Poisson-verteilte Zufallsgröße, z.B. Anzahl der Ereignisse pro Zeitraum
$E(X)$: Erwartungswert
$V(X)$: Varianz, auch Var(X) geschrieben
$\sigma$: Standardabweichung
$\lambda$: Parameter der Poisson-Verteilung, mittlere Anzahl der Ereignisse

Bei der Poisson-Verteilung sind Erwartungswert und Varianz beide gleich λ, die Standardabweichung ist √λ.

Exponentialverteilung

Studium

f(x) = \lambda \, e^{-\lambda x}

Voraussetzung: $\lambda > 0,$ $x \geq 0\ (\text{für } x < 0 \text{ ist } f(x) = 0)$

$f(x)$: Wert der Dichtefunktion an der Stelle x
$x$: Wartezeit oder Lebensdauer
$\lambda$: Rate, mittlere Anzahl Ereignisse pro Zeiteinheit; Kehrwert der mittleren Wartezeit
$e$: Eulersche Zahl, etwa 2,718

Die Exponentialverteilung beschreibt Wartezeiten und Lebensdauern ohne Alterung, mit Dichte λ·e^(−λx) für x ≥ 0.

Fehler 1. und 2. Art

Oberstufe

\alpha^* = P_{p_0}(X \in \overline{A}), \qquad \beta = P_{p_1}(X \in A)

Voraussetzung: $X$ $binomialverteilt$ $,$ $p_0$ $laut$ $H_0,$ $p_1$ $ein Wert aus$ $H_1$

$\alpha^*$: Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art, H₀ wird verworfen, obwohl sie stimmt
$\beta$: Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art, H₀ wird nicht verworfen, obwohl sie falsch ist
$X$: Testgröße, die Anzahl der Treffer in der Stichprobe
$A,\ \overline{A}$: Annahmebereich und Ablehnungsbereich von H₀
$p_0$: Trefferwahrscheinlichkeit laut Nullhypothese
$p_1$: angenommene wahre Trefferwahrscheinlichkeit, für die β berechnet wird

Fehler 1. Art heißt, eine richtige Nullhypothese zu verwerfen, Fehler 2. Art, eine falsche beizubehalten.

Gauß-Test

Studium

z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}

Voraussetzung: $X_1, \ldots, X_n$ $unabhängig$ $,$ $N(\mu, \sigma^2)$ $-verteilt$ $mit bekanntem$ $\sigma > 0$

$z$: Wert der Testgröße, unter H₀ standardnormalverteilt
$\bar{x}$: arithmetisches Mittel der Stichprobe
$\mu_0$: Erwartungswert laut Nullhypothese
$\sigma$: bekannte Standardabweichung der Grundgesamtheit
$n$: Stichprobenumfang

Der Gauß-Test prüft eine Hypothese über den Erwartungswert, wenn die Standardabweichung der Grundgesamtheit bekannt ist.

Gegenwahrscheinlichkeit

Mittelstufe

P(\overline{A}) = 1 - P(A)

$A$: ein Ereignis
$\overline{A}$: Gegenereignis, „A tritt nicht ein“
$P(A)$: Wahrscheinlichkeit von A
$P(\overline{A})$: Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis nicht eintritt, ist 1 minus die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses.

Geometrische Verteilung

Studium

P(X = k) = (1-p)^{k-1} \cdot p

Voraussetzung: $0 < p \leq 1,$ $k \in \{1, 2, 3, \ldots\}$

$X$: Nummer des Versuchs, in dem der erste Treffer eintritt
$k$: Versuchsnummer, deren Wahrscheinlichkeit gesucht ist
$p$: Trefferwahrscheinlichkeit bei jedem Versuch

Wahrscheinlichkeit, dass der erste Treffer einer Bernoulli-Kette genau im k-ten Versuch eintritt.

Geometrisches Mittel

Mittelstufe

\bar{x}_{\text{geo}} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n}

Voraussetzung: $x_1, \ldots, x_n > 0,$ $n \geq 1$

$\bar{x}_{\text{geo}}$: geometrisches Mittel der Werte
$x_1, \ldots, x_n$: die Werte, häufig Wachstumsfaktoren wie 1,1 für plus 10 %
$n$: Anzahl der Werte

Das geometrische Mittel ist die n-te Wurzel aus dem Produkt von n positiven Werten, z.B. mittlerer Wachstumsfaktor.

Gesetz der großen Zahlen

Oberstufe

\lim_{n \to \infty} P\left(|h_n - p| < \varepsilon\right) = 1

Voraussetzung: $n$ $unabhängige Versuche mit gleicher Trefferwahrscheinlichkeit$ $p,$ $\varepsilon > 0$

$h_n$: relative Häufigkeit der Treffer nach n Versuchen
$p$: Trefferwahrscheinlichkeit bei jedem Versuch
$n$: Anzahl der Versuche
$\varepsilon$: beliebig kleine, aber feste Toleranz

Mit wachsender Versuchszahl liegt die relative Häufigkeit mit immer größerer Wahrscheinlichkeit beliebig nah an p.

Gewichtetes Mittel

Mittelstufe

\bar{x}_w = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \ldots + w_n x_n}{w_1 + w_2 + \ldots + w_n}

Voraussetzung: $w_1, \ldots, w_n \geq 0,$ $w_1 + \ldots + w_n > 0$

$\bar{x}_w$: gewichtetes Mittel
$x_1, \ldots, x_n$: die Werte, z.B. Noten oder Mittelwerte von Gruppen
$w_1, \ldots, w_n$: die Gewichte, z.B. wie oft ein Wert zählt oder wie groß eine Gruppe ist
$n$: Anzahl der Werte

Beim gewichteten Mittel zählt jeder Wert so oft, wie sein Gewicht angibt; geteilt wird durch die Summe der Gewichte.

Hypergeometrische Verteilung

Oberstufe

P(X = k) = \frac{\binom{M}{k} \cdot \binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}

Voraussetzung: $0 \leq M \leq N,$ $1 \leq n \leq N,$ $k \in \{0, 1, \ldots, n\},$ $\binom{a}{b} = 0$ $für$ $b > a$

$X$: Anzahl der gezogenen Treffer-Objekte
$N$: Gesamtzahl der Objekte in der Urne
$M$: Anzahl der Treffer-Objekte in der Urne, z.B. rote Kugeln
$n$: Anzahl der gezogenen Objekte (ohne Zurücklegen)
$k$: gewünschte Anzahl an Treffern in der Stichprobe

Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer, wenn man n Objekte ohne Zurücklegen aus N Objekten mit M Treffern zieht.

Hypothesentest

Oberstufe

P_{p_0}(X \in \overline{A}) \leq \alpha

Voraussetzung: $X$ $unter$ $H_0$ $binomialverteilt mit$ $n$ $und$ $p_0,$ $0 < \alpha < 1$

$H_0$: Nullhypothese, die Annahme über die Trefferwahrscheinlichkeit, die geprüft wird
$p_0$: Trefferwahrscheinlichkeit laut Nullhypothese
$X$: Testgröße, die Anzahl der Treffer in der Stichprobe
$n$: Stichprobenumfang
$\overline{A}$: Ablehnungsbereich, die Werte von X, bei denen man H₀ verwirft
$\alpha$: Signifikanzniveau, die höchstens erlaubte Irrtumswahrscheinlichkeit
$P_{p_0}$: Wahrscheinlichkeit, berechnet mit p = p₀

Ein Hypothesentest verwirft H₀, wenn das Ergebnis in einem Bereich liegt, der unter H₀ höchstens mit Wahrscheinlichkeit α vorkommt.

Kombination mit Wiederholung

Studium

N = \binom{n+k-1}{k}

Voraussetzung: $n \geq 1,$ $k \in \mathbb{N}_0$

$N$: Anzahl der Möglichkeiten
$n$: Anzahl der verschiedenen Sorten, aus denen gewählt wird
$k$: Anzahl der gewählten Objekte
$\binom{n+k-1}{k}$: Binomialkoeffizient „n+k−1 über k“

Wer k Objekte aus n Sorten wählt, mit Wiederholung und ohne Reihenfolge, hat (n+k−1 über k) Möglichkeiten.

Konfidenzintervall für den Erwartungswert

Studium

\left[\, \bar{x} - t_{n-1;\,1-\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \,;\ \bar{x} + t_{n-1;\,1-\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \,\right]

Voraussetzung: $X_1, \ldots, X_n$ $unabhängig$ $,$ $N(\mu, \sigma^2)$ $-verteilt$ $mit unbekanntem$ $\sigma,$ $n \geq 2,$ $0 < \alpha < 1$

$\bar{x}$: arithmetisches Mittel der Stichprobe
$s$: korrigierte Standardabweichung der Stichprobe (mit n − 1 im Nenner)
$n$: Stichprobenumfang
$t_{n-1;\,1-\frac{\alpha}{2}}$: Quantil der t-Verteilung mit n − 1 Freiheitsgraden
$\alpha$: Irrtumswahrscheinlichkeit, 1 − α ist das Konfidenzniveau

Intervall um den Stichprobenmittelwert, das den unbekannten Erwartungswert μ mit Wahrscheinlichkeit 1 − α überdeckt.

Konfidenzintervall für einen Anteil

Oberstufe

\left[\, h - z \sqrt{\frac{h(1-h)}{n}} \,;\ h + z \sqrt{\frac{h(1-h)}{n}} \,\right]

Voraussetzung: $n \cdot h \cdot (1-h) > 9$

$h$: relative Häufigkeit der Treffer in der Stichprobe
$n$: Stichprobenumfang
$z$: Faktor zum Konfidenzniveau, z.B. 1,96 für 95 %

Intervall um den Stichprobenanteil h, das den unbekannten Anteil p mit vorgegebener Sicherheit überdeckt.

Korrelationskoeffizient nach Pearson

Studium

r = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2}}

Voraussetzung: $n \geq 2,$ $nicht alle$ $x_i$ $gleich$ $,$ $nicht alle$ $y_i$ $gleich$

$r$: empirischer Korrelationskoeffizient, zwischen −1 und 1
$(x_i, y_i)$: die Datenpaare
$\bar{x}, \bar{y}$: arithmetische Mittel der x- und der y-Werte
$n$: Anzahl der Datenpaare
$i$: Laufindex von 1 bis n

Der Korrelationskoeffizient r misst Stärke und Richtung eines linearen Zusammenhangs, mit Werten von −1 bis 1.

Korrigierte Stichprobenvarianz

Studium

s_{n-1}^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2

Voraussetzung: $n \geq 2$

$s_{n-1}^2$: korrigierte Stichprobenvarianz (Teiler n − 1)
$n$: Stichprobenumfang
$x_i$: der i-te Stichprobenwert
$i$: Laufindex von 1 bis n
$\bar{x}$: arithmetisches Mittel der Stichprobe

Die korrigierte Stichprobenvarianz teilt die Summe der quadrierten Abweichungen durch n − 1 und schätzt σ² erwartungstreu.

Kovarianz

Studium

\operatorname{Cov}(X, Y) = E\big[(X - E(X))(Y - E(Y))\big] = E(XY) - E(X)\,E(Y)

Voraussetzung: $E(X^2) < \infty,$ $E(Y^2) < \infty$

$\operatorname{Cov}(X, Y)$: Kovarianz von X und Y
$X, Y$: Zufallsgrößen auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum
$E$: Erwartungswert

Die Kovarianz misst, ob zwei Zufallsgrößen gemeinsam über oder unter ihrem Erwartungswert liegen.

Kumulierte Binomialverteilung

Oberstufe

P(X \leq k) = \sum_{j=0}^{k} \binom{n}{j} \cdot p^j \cdot (1-p)^{n-j}

Voraussetzung: $X$ $binomialverteilt mit$ $n$ $und$ $p,$ $k \in \{0, 1, \ldots, n\}$

$P(X \leq k)$: Wahrscheinlichkeit für höchstens k Treffer
$n$: Länge der Bernoulli-Kette
$p$: Trefferwahrscheinlichkeit bei jedem Versuch
$k$: obere Grenze für die Trefferzahl
$j$: Laufindex, die einzelnen Trefferzahlen von 0 bis k

Die Wahrscheinlichkeit für höchstens k Treffer ist die Summe der Binomialwahrscheinlichkeiten für 0 bis k Treffer.

Laplace-Wahrscheinlichkeit

Mittelstufe

P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}

Voraussetzung: $\Omega$ $endlich$ $,$ $alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich$

$P(A)$: Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A
$A$: Ereignis, die Menge der „günstigen“ Ergebnisse
$|A|$: Anzahl der Ergebnisse, die zu A gehören
$\Omega$: Ergebnismenge, alle möglichen Ergebnisse des Experiments
$|\Omega|$: Anzahl aller möglichen Ergebnisse

Sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, ist P(A) die Zahl günstiger durch die Zahl möglicher Ergebnisse.

Linearität des Erwartungswerts

Studium

E(aX + bY + c) = a\,E(X) + b\,E(Y) + c

Voraussetzung: $a, b, c \in \mathbb{R},$ $E(X)$ $und$ $E(Y)$ $existieren$

$E$: Erwartungswert
$X, Y$: Zufallsgrößen auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum, nicht unbedingt unabhängig
$a, b, c$: feste reelle Zahlen

Der Erwartungswert einer Linearkombination ist die Linearkombination der Erwartungswerte, auch ohne Unabhängigkeit.

Maximum-Likelihood-Schätzer

Studium

\hat{\theta} = \arg\max_{\theta} L(\theta), \quad L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i; \theta)

Voraussetzung: $x_1, \ldots, x_n$ $Realisierungen unabhängiger, identisch verteilter$ $X_i,$ $Maximum existiert$

$\hat{\theta}$: Maximum-Likelihood-Schätzwert für den Parameter
$\theta$: unbekannter Parameter der Verteilung (auch mehrere Parameter)
$L(\theta)$: Likelihood-Funktion, Plausibilität des Parameters bei gegebenen Daten
$f(x_i; \theta)$: Wahrscheinlichkeitsfunktion (diskret) oder Dichte (stetig) am Datenpunkt x_i
$x_i$: beobachtete Werte der Stichprobe
$n$: Stichprobenumfang

Der Maximum-Likelihood-Schätzer wählt den Parameterwert, unter dem die beobachteten Daten am wahrscheinlichsten sind.

Median

Unterstufe

\tilde{x} = \begin{cases} x_{\frac{n+1}{2}} & n \text{ ungerade} \\ \frac{1}{2}\left(x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}\right) & n \text{ gerade} \end{cases}

Voraussetzung: $x_1 \leq x_2 \leq \ldots \leq x_n,$ $n \geq 1$

$\tilde{x}$: Median, auch Zentralwert genannt
$x_1, \ldots, x_n$: die Datenwerte, der Größe nach sortiert
$n$: Anzahl der Datenwerte

Der Median ist der Wert in der Mitte der der Größe nach sortierten Daten.

Mindestens-einmal-Aufgabe

Oberstufe

1 - (1-p)^n \geq P_{\min} \iff n \geq \frac{\ln(1 - P_{\min})}{\ln(1-p)}

Voraussetzung: $0 < p < 1,$ $0 < P_{\min} < 1,$ $n \in \mathbb{N}$

$p$: Trefferwahrscheinlichkeit bei jedem einzelnen Versuch
$n$: Anzahl der Versuche, gesucht ist die kleinste passende
$P_{\min}$: geforderte Mindestwahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer
$(1-p)^n$: Wahrscheinlichkeit, in n Versuchen keinen einzigen Treffer zu haben

Wie viele Versuche braucht man, um mit einer Mindestwahrscheinlichkeit wenigstens einen Treffer zu erzielen?

Modalwert

Unterstufe

H(x_{\mathrm{mod}}) \geq H(x) \text{ für alle Werte } x

$x_{\mathrm{mod}}$: Modalwert, der Wert, der am häufigsten vorkommt
$H(x)$: absolute Häufigkeit, also wie oft der Wert x in den Daten vorkommt
$x$: ein beliebiger Wert aus den Daten

Der Modalwert ist der Wert, der in einer Datenreihe am häufigsten vorkommt.

Momenterzeugende Funktion

Studium

M_X(t) = E\left(e^{tX}\right), \qquad E\left(X^k\right) = M_X^{(k)}(0)

Voraussetzung: $M_X(t) < \infty$ $für alle$ $t$ $in einem offenen Intervall um$ $0,$ $k \in \mathbb{N}$

$M_X(t)$: momenterzeugende Funktion der Zufallsgröße X an der Stelle t
$X$: Zufallsgröße
$t$: reelle Hilfsvariable
$E(X^k)$: k-tes Moment von X
$M_X^{(k)}(0)$: k-te Ableitung der momenterzeugenden Funktion an der Stelle 0
$k$: Ordnung des Moments

Die momenterzeugende Funktion E(e^(tX)) liefert durch Ableiten an der Stelle 0 alle Momente einer Zufallsgröße.

Multinomialverteilung

Studium

P(X_1 = k_1, \ldots, X_r = k_r) = \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdots k_r!} \cdot p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdots p_r^{k_r}

Voraussetzung: $k_i \in \mathbb{N}_0,$ $k_1 + \ldots + k_r = n,$ $p_i \geq 0,$ $p_1 + \ldots + p_r = 1$

$n$: Anzahl der unabhängigen Durchführungen
$r$: Anzahl der möglichen Ausgänge pro Durchführung
$X_i$: Anzahl der Durchführungen mit Ausgang i
$k_i$: gewünschte Anzahl für Ausgang i
$p_i$: Wahrscheinlichkeit für Ausgang i bei einer Durchführung
$\frac{n!}{k_1! \cdots k_r!}$: Multinomialkoeffizient, Anzahl der passenden Reihenfolgen

Wahrscheinlichkeit, bei n unabhängigen Versuchen mit r Ausgängen genau k₁-mal Ausgang 1, k₂-mal Ausgang 2 usw. zu erhalten.

Näherung von Moivre-Laplace

Oberstufe

P(X \leq k) \approx \Phi\left(\frac{k + 0{,}5 - \mu}{\sigma}\right), \quad \mu = np,\ \sigma = \sqrt{np(1-p)}

Voraussetzung: $X$ $binomialverteilt mit$ $n$ $und$ $p,$ $\sigma > 3$

$X$: binomialverteilte Zufallsgröße, die Anzahl der Treffer
$k$: obere Grenze für die Trefferzahl
$\Phi$: Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
$\mu$: Erwartungswert der Binomialverteilung
$\sigma$: Standardabweichung der Binomialverteilung
$n$: Länge der Bernoulli-Kette
$p$: Trefferwahrscheinlichkeit
$0{,}5$: Stetigkeitskorrektur, der halbe Abstand zwischen zwei ganzen Zahlen

Für σ > 3 lassen sich Binomialwahrscheinlichkeiten gut mit der Normalverteilung und der Stetigkeitskorrektur annähern.

Normalverteilung

Oberstufe

\varphi_{\mu,\sigma}(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \, e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)^2}

Voraussetzung: $\mu \in \mathbb{R},$ $\sigma > 0$

$\varphi_{\mu,\sigma}(x)$: Wert der Dichtefunktion an der Stelle x
$x$: beliebige reelle Zahl, ein möglicher Wert der Zufallsgröße
$\mu$: Erwartungswert, Lage des Hochpunkts der Glockenkurve
$\sigma$: Standardabweichung, bestimmt die Breite der Kurve
$e$: Eulersche Zahl, etwa 2,718

Die Dichte der Normalverteilung ist die Gaußsche Glockenkurve mit Hochpunkt bei μ und Breite σ.

Notwendiger Stichprobenumfang

Oberstufe

n \geq \frac{z^2 \cdot p\,(1 - p)}{d^2}

Voraussetzung: $d > 0,$ $0 \leq p \leq 1;$ $ohne Vorwissen über$ $p$ $setzt man$ $p = 0{,}5$

$n$: notwendiger Stichprobenumfang
$z$: Faktor zum Konfidenzniveau, z.B. 1,96 für 95 %
$p$: (geschätzter) Anteil in der Grundgesamtheit
$d$: gewünschte Genauigkeit, halbe Breite des Konfidenzintervalls

Mindestgröße einer Stichprobe, damit ein Konfidenzintervall für einen Anteil höchstens die halbe Breite d hat.

Permutationen

Mittelstufe

n! = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1

Voraussetzung: $n \in \mathbb{N}_0$

$n$: Anzahl der unterscheidbaren Objekte
$n!$: „n Fakultät“, die Anzahl der möglichen Reihenfolgen der n Objekte

Für n verschiedene Objekte gibt es n! = n · (n−1) · … · 1 mögliche Reihenfolgen.

Pfadadditionsregel

Mittelstufe

P(E) = P(\text{Pfad}_1) + P(\text{Pfad}_2) + \ldots + P(\text{Pfad}_m)

$E$: Ereignis, das aus mehreren Ergebnissen besteht
$P(E)$: Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
$P(\text{Pfad}_1), \ldots, P(\text{Pfad}_m)$: Wahrscheinlichkeiten der Pfade, die zu E gehören (jeweils nach der Pfadmultiplikationsregel)
$m$: Anzahl der Pfade, die zu E gehören

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu ihm gehören.

Pfadmultiplikationsregel

Mittelstufe

P(\text{Pfad}) = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_n

$P(\text{Pfad})$: Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses am Ende des Pfades
$p_1, p_2, \ldots, p_n$: Wahrscheinlichkeiten an den Ästen entlang des Pfades; ab der zweiten Stufe bedingte Wahrscheinlichkeiten, gegeben den bisherigen Pfad
$n$: Anzahl der Stufen des Zufallsexperiments

Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades im Baumdiagramm ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades.

Poisson-Näherung der Binomialverteilung

Studium

\binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n-k} \approx \frac{\lambda^k}{k!}\, e^{-\lambda}, \qquad \lambda = n p

Voraussetzung: $n$ $groß$ $,$ $p$ $klein (Faustregel:$ $n \geq 50,\ p \leq 0{,}1),$ $k \in \{0, 1, \ldots, n\}$

$n$: Anzahl der unabhängigen Versuche
$p$: Trefferwahrscheinlichkeit pro Versuch
$k$: Anzahl der Treffer
$\lambda$: Erwartungswert der Trefferzahl, λ = n·p
$e$: Eulersche Zahl, etwa 2,718

Bei vielen Versuchen mit kleiner Trefferwahrscheinlichkeit lässt sich die Binomialverteilung durch die Poisson-Verteilung mit λ = n·p ersetzen.

Poisson-Verteilung

Studium

P(X = k) = \frac{\lambda^k}{k!} \, e^{-\lambda}

Voraussetzung: $\lambda > 0,$ $k \in \mathbb{N}_0$

$X$: Anzahl der Ereignisse in einem festen Zeitraum oder Bereich
$k$: Anzahl, deren Wahrscheinlichkeit gesucht ist
$\lambda$: mittlere Anzahl der Ereignisse, zugleich Erwartungswert und Varianz
$e$: Eulersche Zahl, etwa 2,718

Wahrscheinlichkeit für genau k Ereignisse, wenn im Mittel λ unabhängige Ereignisse pro Zeitraum auftreten.

Quartile und Boxplot

Mittelstufe

d_Q = Q_3 - Q_1

Voraussetzung: $x_1 \leq x_2 \leq \ldots \leq x_n,$ $n \geq 2$

$Q_1$: unteres Quartil, der Median der unteren Hälfte der Daten
$Q_3$: oberes Quartil, der Median der oberen Hälfte der Daten
$d_Q$: Quartilsabstand (Interquartilsabstand), die Breite der Box im Boxplot
$x_1, \ldots, x_n$: die Datenwerte, der Größe nach sortiert

Die Quartile teilen sortierte Daten in vier Viertel; Q₃ − Q₁ ist die Breite der mittleren Hälfte im Boxplot.

Regressionsgerade

Studium

y = m x + b \quad \text{mit} \quad m = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2},\quad b = \bar{y} - m \bar{x}

Voraussetzung: $n \geq 2,$ $nicht alle$ $x_i$ $gleich$

$m$: Steigung der Regressionsgeraden
$b$: y-Achsenabschnitt der Regressionsgeraden
$(x_i, y_i)$: die Datenpaare
$\bar{x}, \bar{y}$: arithmetische Mittel der x- und der y-Werte
$n$: Anzahl der Datenpaare
$i$: Laufindex von 1 bis n

Die Regressionsgerade ist die Gerade, bei der die Summe der quadrierten senkrechten Abstände zu den Datenpunkten minimal ist.

Relative Häufigkeit

Unterstufe

h(A) = \frac{H(A)}{n}

Voraussetzung: $n \geq 1$

$h(A)$: relative Häufigkeit von A, ein Anteil zwischen 0 und 1
$H(A)$: absolute Häufigkeit, also wie oft A vorkommt
$n$: Gesamtzahl aller Versuche oder Beobachtungen
$A$: das Ergebnis oder Merkmal, das gezählt wird, z.B. „Sechs gewürfelt“

Die relative Häufigkeit ist der Anteil eines Ergebnisses an allen Versuchen, also Anzahl durch Gesamtzahl.

Satz von Bayes

Oberstufe

P_B(A) = \frac{P_A(B) \cdot P(A)}{P(B)}

Voraussetzung: $P(A) > 0,$ $P(B) > 0$

$A, B$: zwei Ereignisse, z.B. A „Ursache“ und B „beobachtetes Merkmal“
$P_B(A)$: gesuchte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B, auch P(A | B)
$P_A(B)$: bekannte Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A, auch P(B | A)
$P(A)$: Wahrscheinlichkeit von A ohne weiteres Wissen
$P(B)$: Gesamtwahrscheinlichkeit von B

Der Satz von Bayes dreht eine bedingte Wahrscheinlichkeit um und berechnet P_B(A) aus P_A(B).

Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit

Oberstufe

P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) \cdot P_{A_i}(B)

Voraussetzung: $A_1, \ldots, A_n$ $paarweise$ $unvereinbar$ $,$ $A_1 \cup \ldots \cup A_n = \Omega,$ $P(A_i) > 0$

$B$: das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit gesucht ist
$A_1, \ldots, A_n$: Zerlegung der Ergebnismenge in Fälle, die sich nicht überschneiden
$P(A_i)$: Wahrscheinlichkeit des i-ten Falls
$P_{A_i}(B)$: bedingte Wahrscheinlichkeit von B im i-ten Fall
$\Omega$: Ergebnismenge, also alle möglichen Ergebnisse
$n$: Anzahl der Fälle

P(B) ergibt sich als Summe über alle Fälle Aᵢ, jeweils P(Aᵢ) mal die bedingte Wahrscheinlichkeit von B im Fall Aᵢ.

Sigma-Regeln

Oberstufe

P(|X - \mu| \leq k\sigma) \approx \begin{cases} 0{,}683 & k = 1 \\ 0{,}954 & k = 2 \\ 0{,}997 & k = 3 \end{cases}

Voraussetzung: $X$ $normalverteilt oder binomialverteilt mit$ $\sigma > 3$

$X$: Zufallsgröße
$\mu$: Erwartungswert von X
$\sigma$: Standardabweichung von X
$k$: Radius der Umgebung in Vielfachen von σ

Etwa 68,3 %, 95,4 % und 99,7 % der Werte liegen höchstens 1σ, 2σ und 3σ vom Erwartungswert entfernt.

Spannweite

Unterstufe

R = x_{\max} - x_{\min}

$R$: Spannweite
$x_{\max}$: größter Wert der Daten
$x_{\min}$: kleinster Wert der Daten

Die Spannweite ist der Abstand zwischen dem größten und dem kleinsten Wert einer Datenreihe.

Standardabweichung

Oberstufe

s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}

Voraussetzung: $n \geq 1$

$s$: empirische Standardabweichung der Daten
$s^2$: empirische Varianz der Daten
$n$: Anzahl der Datenwerte
$x_i$: der i-te Datenwert
$i$: Laufindex von 1 bis n
$\bar{x}$: arithmetisches Mittel der Daten

Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz und misst die Streuung in der Einheit der Daten.

Standardfehler des Mittelwerts

Studium

\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \qquad \text{geschätzt: } \ \mathrm{SE} = \frac{s}{\sqrt{n}}

Voraussetzung: $X_1, \ldots, X_n$ $unabhängig mit gleicher Standardabweichung$ $\sigma,$ $n \geq 1$

$\sigma_{\bar{X}}$: Standardabweichung des Stichprobenmittels
$\sigma$: Standardabweichung eines einzelnen Messwerts
$n$: Stichprobenumfang
$s$: korrigierte Standardabweichung der Stichprobe als Schätzung für σ
$\mathrm{SE}$: geschätzter Standardfehler

Der Standardfehler gibt an, wie stark der Mittelwert einer Stichprobe vom Umfang n um den wahren Erwartungswert schwankt.

Standardisierung

Oberstufe

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

Voraussetzung: $\sigma > 0$

$z$: standardisierter Wert (z-Wert), Abstand von μ in Standardabweichungen
$x$: ursprünglicher Wert
$\mu$: Erwartungswert oder Mittelwert
$\sigma$: Standardabweichung

Der z-Wert gibt an, um wie viele Standardabweichungen ein Wert x vom Erwartungswert μ entfernt ist.

Stationäre Verteilung

Studium

A \cdot \vec{\pi} = \vec{\pi}, \qquad \pi_1 + \ldots + \pi_m = 1

Voraussetzung: $A$ $stochastische Matrix (Spaltensummen$ $1),$ $\pi_i \geq 0$

$A$: Übergangsmatrix; a_ij ist die Wahrscheinlichkeit für einen Wechsel von Zustand j nach Zustand i
$\vec{\pi}$: stationäre Verteilung (Fixvektor), die sich durch einen Schritt nicht ändert
$\pi_i$: langfristiger Anteil bzw. Wahrscheinlichkeit von Zustand i
$m$: Anzahl der Zustände

Eine stationäre Verteilung ist ein Wahrscheinlichkeitsvektor, den die Übergangsmatrix unverändert lässt; oft ist sie die Grenzverteilung.

Stetige Gleichverteilung

Oberstufe

f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & a \leq x \leq b \\ 0 & \text{sonst} \end{cases}

Voraussetzung: $a < b$

$f(x)$: Dichtefunktion der Zufallsgröße X
$a,\ b$: linke und rechte Grenze des Intervalls, in dem X liegt
$x$: beliebige reelle Zahl

Bei der stetigen Gleichverteilung ist die Dichte auf einem Intervall [a; b] konstant, Wahrscheinlichkeiten sind Rechteckflächen.

Stochastische Unabhängigkeit

Oberstufe

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

Voraussetzung: $A, B$ $Ereignisse desselben Zufallsexperiments$

$A, B$: zwei Ereignisse
$P(A \cap B)$: Wahrscheinlichkeit, dass A und B gemeinsam eintreten
$P(A), P(B)$: Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse

Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit für beide zusammen das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten ist.

t-Test

Studium

t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}

Voraussetzung: $X_1, \ldots, X_n$ $unabhängig$ $,$ $N(\mu, \sigma^2)$ $-verteilt$ $mit unbekanntem$ $\sigma,$ $n \geq 2,$ $s > 0$

$t$: Wert der Testgröße, unter H₀ t-verteilt mit n − 1 Freiheitsgraden
$\bar{x}$: arithmetisches Mittel der Stichprobe
$\mu_0$: Erwartungswert laut Nullhypothese
$s$: korrigierte Standardabweichung der Stichprobe (mit n − 1 im Nenner)
$n$: Stichprobenumfang

Der t-Test prüft eine Hypothese über den Erwartungswert, wenn die Standardabweichung aus der Stichprobe geschätzt wird.

t-Verteilung

Studium

f_\nu(t) = \frac{\Gamma\left(\frac{\nu + 1}{2}\right)}{\sqrt{\nu\pi}\ \Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)} \left(1 + \frac{t^2}{\nu}\right)^{-\frac{\nu + 1}{2}}

Voraussetzung: $\nu > 0\ (\text{meist } \nu \in \mathbb{N}),$ $t \in \mathbb{R}$

$f_\nu(t)$: Wert der Dichtefunktion an der Stelle t
$t$: beliebige reelle Zahl, ein möglicher Wert der Zufallsgröße
$\nu$: Anzahl der Freiheitsgrade
$\Gamma$: Gammafunktion, für natürliche Zahlen gilt Γ(n) = (n − 1)!
$\pi$: Kreiszahl, etwa 3,14159

Die t-Verteilung mit ν Freiheitsgraden ist symmetrisch um 0, hat breitere Ränder als die Normalverteilung und dient zum Schätzen und Testen bei unbekanntem σ.

Übergangsmatrix einer Markow-Kette

Oberstufe

\vec{v}_{n+1} = A \cdot \vec{v}_n, \qquad \vec{v}_n = A^n \cdot \vec{v}_0

Voraussetzung: $a_{ij} \geq 0,$ $jede Spaltensumme von$ $A$ $ist$ $1$

$A$: Übergangsmatrix; a_ij ist die Wahrscheinlichkeit, in einem Schritt von Zustand j nach Zustand i zu wechseln
$a_{ij}$: Eintrag in Zeile i und Spalte j der Übergangsmatrix
$\vec{v}_n$: Zustandsvektor nach n Schritten, enthält die Wahrscheinlichkeiten (oder Anteile) der Zustände
$\vec{v}_0$: Startvektor
$n$: Anzahl der Schritte

Die Übergangsmatrix einer Markow-Kette berechnet aus der aktuellen Verteilung auf die Zustände die Verteilung nach dem nächsten Schritt.

Ungleichung von Tschebyscheff

Studium

P\big(|X - \mu| \geq c\big) \leq \frac{\sigma^2}{c^2}

Voraussetzung: $c > 0,$ $\mu = E(X),$ $\sigma^2 = \operatorname{Var}(X) < \infty$

$X$: Zufallsgröße mit beliebiger Verteilung
$\mu$: Erwartungswert von X
$\sigma^2$: Varianz von X
$c$: Mindestabstand vom Erwartungswert

Die Wahrscheinlichkeit, dass X mindestens um c von μ abweicht, ist höchstens σ²/c², für jede Verteilung.

Varianz bei linearer Transformation

Studium

\operatorname{Var}(aX + b) = a^2 \operatorname{Var}(X)

Voraussetzung: $a, b \in \mathbb{R},$ $\operatorname{Var}(X)$ $existiert$

$\operatorname{Var}(X)$: Varianz der Zufallsgröße X, in der Schule oft V(X)
$X$: Zufallsgröße
$a$: Streckfaktor
$b$: Verschiebung

Eine Verschiebung um b ändert die Varianz nicht, ein Faktor a geht quadriert ein.

Varianz einer Summe

Studium

V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2\operatorname{Cov}(X, Y)

Voraussetzung: $E(X^2) < \infty,$ $E(Y^2) < \infty$

$V(X)$: Varianz der Zufallsgröße X, auch Var(X) geschrieben
$X, Y$: Zufallsgrößen auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum
$\operatorname{Cov}(X, Y)$: Kovarianz von X und Y

Die Varianz einer Summe ist die Summe der Varianzen plus zweimal die Kovarianz; bei Unabhängigkeit fällt die Kovarianz weg.

Varianz einer Zufallsgröße

Oberstufe

V(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 \cdot P(X = x_i)

Voraussetzung: $X$ $nimmt genau die verschiedenen Werte$ $x_1, \ldots,$ $x_n$ $an$ $,$ $\mu = E(X)$

$V(X)$: Varianz der Zufallsgröße X, auch Var(X) oder σ² geschrieben
$X$: Zufallsgröße
$x_i$: die möglichen Werte von X
$P(X = x_i)$: Wahrscheinlichkeit, dass X den Wert x_i annimmt
$\mu$: Erwartungswert E(X)
$n$: Anzahl der möglichen Werte
$i$: Laufindex von 1 bis n

Die Varianz ist die mit den Wahrscheinlichkeiten gewichtete Summe der quadrierten Abweichungen vom Erwartungswert.

Variation mit Wiederholung

Mittelstufe

N = n^k

Voraussetzung: $n \geq 1,$ $k \in \mathbb{N}_0$

$N$: Anzahl der Möglichkeiten
$n$: Anzahl der Auswahlmöglichkeiten an jeder Stelle
$k$: Anzahl der Stellen oder Züge

Wer k-mal aus n Möglichkeiten wählt, mit Wiederholung und Reihenfolge, hat n hoch k Möglichkeiten.

Variation ohne Wiederholung

Oberstufe

N = \frac{n!}{(n-k)!} = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)

Voraussetzung: $n, k \in \mathbb{N}_0,$ $k \leq n$

$N$: Anzahl der Möglichkeiten
$n$: Anzahl der verschiedenen Objekte, aus denen gewählt wird
$k$: Anzahl der ausgewählten Objekte, also der Plätze
$n!$: n Fakultät, das Produkt 1 · 2 · … · n

Wer k von n Objekten nacheinander auswählt, ohne Wiederholung und mit Reihenfolge, hat n!/(n−k)! Möglichkeiten.

Verschiebungssatz

Studium

V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2

Voraussetzung: $E(X^2) < \infty$

$V(X)$: Varianz der Zufallsgröße X, auch Var(X) geschrieben
$E(X^2)$: Erwartungswert des Quadrats von X (zweites Moment)
$E(X)$: Erwartungswert von X

Die Varianz ist der Erwartungswert des Quadrats minus das Quadrat des Erwartungswerts.

Verteilungsfunktion

Oberstufe

F(x) = P(X \leq x)

Voraussetzung: $X$ $Zufallsgröße$ $,$ $x \in \mathbb{R}$

$F(x)$: Wert der Verteilungsfunktion an der Stelle x
$X$: Zufallsgröße, diskret oder stetig
$x$: beliebige reelle Zahl

Die Verteilungsfunktion gibt für jede Zahl x an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsgröße höchstens x ist.

Vierfeldertafel

Mittelstufe

\begin{array}{c|c|c|c} & B & \overline{B} & \\ \hline A & P(A \cap B) & P(A \cap \overline{B}) & P(A) \\ \hline \overline{A} & P(\overline{A} \cap B) & P(\overline{A} \cap \overline{B}) & P(\overline{A}) \\ \hline & P(B) & P(\overline{B}) & 1 \end{array}

$A,\ B$: zwei Ereignisse oder Merkmale, z.B. „fährt Bus“ und „wohnt weit weg“
$\overline{A},\ \overline{B}$: die Gegenereignisse, „nicht A“ und „nicht B“
$P(A \cap B)$: Wahrscheinlichkeit, dass A und B zugleich eintreten
$P(A),\ P(B)$: Randwahrscheinlichkeiten, die Zeilen- und Spaltensummen

Die Vierfeldertafel ordnet die Wahrscheinlichkeiten zweier Merkmale so an, dass Zeilen und Spalten sich aufsummieren.

Zentraler Grenzwertsatz

Studium

\lim_{n \to \infty} P\left(\frac{S_n - n\mu}{\sigma \sqrt{n}} \leq z\right) = \Phi(z), \quad S_n = X_1 + \ldots + X_n

Voraussetzung: $X_1, X_2, \ldots$ $unabhängig und identisch$ $verteilt$ $,$ $E(X_i) = \mu,$ $0 < V(X_i) = \sigma^2 < \infty,$ $z \in \mathbb{R}$

$X_1, \ldots, X_n$: unabhängige, identisch verteilte Zufallsgrößen
$S_n$: Summe der ersten n Zufallsgrößen
$n$: Anzahl der Summanden
$\mu$: Erwartungswert jedes einzelnen X_i
$\sigma$: Standardabweichung jedes einzelnen X_i
$z$: beliebige reelle Schranke
$\Phi$: Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung

Die standardisierte Summe vieler unabhängiger, gleich verteilter Zufallsgrößen ist für große n annähernd standardnormalverteilt.