Geometrische Verteilung

Studium

P(X = k) = (1-p)^{k-1} \cdot p

Voraussetzung: $0 < p \leq 1,$ $k \in \{1, 2, 3, \ldots\}$

$X$: Nummer des Versuchs, in dem der erste Treffer eintritt
$k$: Versuchsnummer, deren Wahrscheinlichkeit gesucht ist
$p$: Trefferwahrscheinlichkeit bei jedem Versuch

Wahrscheinlichkeit, dass der erste Treffer einer Bernoulli-Kette genau im k-ten Versuch eintritt.

Erklärung

Eine Bernoulli-Kette mit Trefferwahrscheinlichkeit $p$ wird so lange fortgesetzt, bis der erste Treffer eintritt. $X$ ist die Nummer dieses Versuchs. Dass das genau im $k$ -ten Versuch geschieht, heißt: erst $k - 1$ Nieten, dann ein Treffer. Wegen der Unabhängigkeit multipliziert man.

Wichtige Kennzahlen ( $V(X)$ ist die Varianz, auch $\operatorname{Var}(X)$ geschrieben):

E(X) = \frac{1}{p}, \qquad V(X) = \frac{1-p}{p^2}, \qquad P(X > k) = (1-p)^k

Die geometrische Verteilung ist gedächtnislos: $P(X > m + k \mid X > m) = P(X > k)$ . Wer schon lange wartet, hat dadurch keine besseren Chancen für die nächsten Versuche.

Achtung, zwei Konventionen: Manche Bücher zählen statt der Versuchsnummer die Nieten vor dem ersten Treffer, $Y = X - 1 \in \{0, 1, 2, \ldots\}$ . Dann ist $P(Y = k) = (1-p)^k \cdot p$ und $E(Y) = \frac{1-p}{p}$ . Die Varianz bleibt $V(Y) = \frac{1-p}{p^2}$ .

Beispiele

Man würfelt, bis die erste Sechs fällt ( $p = \frac{1}{6}$ ). Erste Sechs genau im dritten Wurf:

P(X = 3) = \left(\frac{5}{6}\right)^2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{25}{216} \approx 0{,}1157

Im Mittel braucht man $E(X) = \frac{1}{1/6} = 6$ Würfe, die Varianz ist $\frac{5/6}{(1/6)^2} = 30$ . Nach $10$ Würfen ist noch immer keine Sechs gefallen mit Wahrscheinlichkeit $\left(\frac{5}{6}\right)^{10} \approx 0{,}1615$ .

Ein Los gewinnt mit $p = 0{,}05$ . Wahrscheinlichkeit, unter den ersten $20$ Losen mindestens einen Gewinn zu haben: $P(X \leq 20) = 1 - 0{,}95^{20} \approx 0{,}6415$ . Obwohl $E(X) = \frac{1}{0{,}05} = 20$ ist, liegt die Wahrscheinlichkeit also deutlich unter $1$ .

Typische Fehler

Den Exponenten $k$ statt $k - 1$ nehmen. Vor dem Treffer im $k$ -ten Versuch liegen nur $k - 1$ Nieten. (Das passt nur zur anderen Konvention mit $Y$ .)
Die Konventionen mischen: $E(X) = \frac{1}{p}$ gilt für die Versuchsnummer, nicht für die Anzahl der Nieten.
Annehmen, nach vielen Nieten sei ein Treffer „überfällig“. Wegen der Gedächtnislosigkeit ändert sich die Wahrscheinlichkeit nicht.
Mit $E(X)$ Versuchen einen sicheren Treffer erwarten. Nach $\frac{1}{p}$ Versuchen ist der erste Treffer bei kleinem $p$ nur mit etwa $1 - \frac{1}{e} \approx 63\,\%$ eingetreten, im Losbeispiel mit $64\,\%$ .

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