Stochastische Unabhängigkeit

Erklärung

Zwei Ereignisse $A$ und $B$ heißen stochastisch unabhängig, wenn das Eintreten des einen die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht verändert. Die Formel ist die Definition: Gilt sie, sind $A$ und $B$ unabhängig, gilt sie nicht, sind sie abhängig.

Für $P(B) > 0$ ist das gleichwertig mit

Das Wissen, dass $B$ eingetreten ist, ändert also nichts an der Wahrscheinlichkeit von $A$.

Unabhängigkeit prüft man meist mit einer Vierfeldertafel: Man vergleicht den Eintrag $P(A \cap B)$ mit dem Produkt der Randwahrscheinlichkeiten $P(A) \cdot P(B)$.

Sind $A$ und $B$ unabhängig, dann auch $A$ und $\overline{B}$, $\overline{A}$ und $B$ sowie $\overline{A}$ und $\overline{B}$.

Beispiele

Zwei Würfel werden geworfen. $A$: Der erste zeigt eine Sechs. $B$: Der zweite zeigt eine gerade Zahl. Die Würfel beeinflussen sich nicht:

In einer Umfrage gilt $P(A) = 0{,}4$ und $P(B) = 0{,}3$. Laut Vierfeldertafel ist $P(A \cap B) = 0{,}12$. Wegen

sind $A$ und $B$ unabhängig. Probe: $P_B(A) = \frac{0{,}12}{0{,}3} = 0{,}4 = P(A)$.

Stünde in der Tafel $P(A \cap B) = 0{,}2$, wären sie abhängig: $P_B(A) = \frac{0{,}2}{0{,}3} \approx 0{,}67 \neq 0{,}4$.

Typische Fehler

• Unabhängig mit unvereinbar (disjunkt) verwechseln. Unvereinbare Ereignisse mit $P(A) > 0$ und $P(B) > 0$ sind immer abhängig: $P(A \cap B) = 0$, aber $P(A) \cdot P(B) > 0$.
• Die Produktformel benutzen, ohne die Unabhängigkeit zu kennen. Bei abhängigen Ereignissen gilt $P(A \cap B) = P(A) \cdot P_A(B)$.
• Bei Daten aus einer Vierfeldertafel Unabhängigkeit einfach annehmen. Sie muss dort mit der Formel nachgerechnet werden.
• Beim Münzwurf glauben, nach mehrmals Kopf sei Zahl „fällig“. Die Würfe sind unabhängig, die Wahrscheinlichkeit für Zahl bleibt $\frac{1}{2}$.