Variation ohne Wiederholung

Oberstufe

N = \frac{n!}{(n-k)!} = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)

Voraussetzung: $n, k \in \mathbb{N}_0,$ $k \leq n$

$N$: Anzahl der Möglichkeiten
$n$: Anzahl der verschiedenen Objekte, aus denen gewählt wird
$k$: Anzahl der ausgewählten Objekte, also der Plätze
$n!$: n Fakultät, das Produkt 1 · 2 · … · n

Wer k von n Objekten nacheinander auswählt, ohne Wiederholung und mit Reihenfolge, hat n!/(n−k)! Möglichkeiten.

Erklärung

Aus $n$ verschiedenen Objekten werden $k$ nacheinander ausgewählt. Dabei gilt:

Ohne Wiederholung: Jedes Objekt kann nur einmal gewählt werden.
Mit Reihenfolge: Es kommt darauf an, an welcher Stelle ein Objekt steht.

Für den ersten Platz gibt es $n$ Möglichkeiten, für den zweiten nur noch $n - 1$ , und für den $k$ -ten noch $n - k + 1$ . Das Produkt dieser $k$ Faktoren lässt sich kurz als $\frac{n!}{(n-k)!}$ schreiben, weil sich die Faktoren von $1$ bis $n - k$ wegkürzen.

Im Urnenmodell ist das Ziehen ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge. Sonderfall $k = n$ : Dann ist $(n-k)! = 0! = 1$ , und man erhält alle $n!$ Anordnungen (Permutationen).

Spielt die Reihenfolge keine Rolle, teilt man noch durch die $k!$ Anordnungen der gewählten Objekte und erhält den Binomialkoeffizienten $\binom{n}{k}$ .

Beispiele

Bei einem Lauf mit $8$ Teilnehmenden werden Gold, Silber und Bronze vergeben:

N = \frac{8!}{5!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336

Ein Verein mit $12$ Mitgliedern wählt eine Vorsitzende, einen Stellvertreter und eine Kassenwartin. Niemand darf zwei Ämter haben:

N = \frac{12!}{9!} = 12 \cdot 11 \cdot 10 = 1320

Fünf Bücher in einer Reihe anordnen ( $k = n = 5$ ): $\frac{5!}{0!} = 120$ .

Typische Fehler

Den Binomialkoeffizienten nehmen, obwohl die Reihenfolge zählt. $\binom{8}{3} = 56$ gibt nur an, welche drei aufs Podest kommen, nicht wer welche Medaille bekommt. Richtig ist $56 \cdot 3! = 336$ .
Mit Wiederholung rechnen: $8^3 = 512$ würde erlauben, dass jemand zwei Medaillen gewinnt.
Im Nenner $k!$ statt $(n-k)!$ schreiben.
$0! = 0$ setzen. Es gilt $0! = 1$ .

Variation ohne Wiederholung