Hypergeometrische Verteilung

Oberstufe

P(X = k) = \frac{\binom{M}{k} \cdot \binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}

Voraussetzung: $0 \leq M \leq N,$ $1 \leq n \leq N,$ $k \in \{0, 1, \ldots, n\},$ $\binom{a}{b} = 0$ $für$ $b > a$

$X$: Anzahl der gezogenen Treffer-Objekte
$N$: Gesamtzahl der Objekte in der Urne
$M$: Anzahl der Treffer-Objekte in der Urne, z.B. rote Kugeln
$n$: Anzahl der gezogenen Objekte (ohne Zurücklegen)
$k$: gewünschte Anzahl an Treffern in der Stichprobe

Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer, wenn man n Objekte ohne Zurücklegen aus N Objekten mit M Treffern zieht.

Erklärung

Eine Urne enthält $N$ Kugeln, davon $M$ Treffer (z.B. rot) und $N - M$ Nieten. Man zieht $n$ Kugeln ohne Zurücklegen. Die Anzahl $X$ der gezogenen Treffer heißt hypergeometrisch verteilt.

Die Formel ist eine Laplace-Wahrscheinlichkeit:

Im Nenner steht die Anzahl aller möglichen Stichproben: $\binom{N}{n}$ .
Im Zähler wählt man $k$ der $M$ Treffer und $n - k$ der $N - M$ Nieten aus, daher das Produkt.

Erwartungswert und Varianz (Varianz für $N \geq 2$ ):

E(X) = n \cdot \frac{M}{N}, \qquad V(X) = n \cdot \frac{M}{N}\left(1 - \frac{M}{N}\right) \cdot \frac{N-n}{N-1}

Der letzte Faktor ist kleiner als $1$ : Ohne Zurücklegen streut $X$ weniger als bei der Binomialverteilung. Ist $N$ sehr groß im Vergleich zu $n$ , ändert sich der Trefferanteil beim Ziehen kaum. Dann kann man näherungsweise mit der Binomialverteilung und $p = \frac{M}{N}$ rechnen.

Beispiele

In einer Urne liegen $10$ Kugeln, davon $4$ rot. Es werden $3$ gezogen. Genau $2$ rote:

P(X = 2) = \frac{\binom{4}{2} \cdot \binom{6}{1}}{\binom{10}{3}} = \frac{6 \cdot 6}{120} = 0{,}3

Im Mittel zieht man $E(X) = 3 \cdot \frac{4}{10} = 1{,}2$ rote Kugeln, die Varianz ist $V(X) = 3 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}6 \cdot \frac{7}{9} = 0{,}56$ .

Lotto „6 aus 49“: $N = 49$ , $M = 6$ Gewinnzahlen, $n = 6$ Kreuze. Genau $3$ Richtige:

P(X = 3) = \frac{\binom{6}{3} \cdot \binom{43}{3}}{\binom{49}{6}} = \frac{20 \cdot 12\,341}{13\,983\,816} \approx 0{,}0177

Das ist etwa jeder $57$ . Tipp.

Typische Fehler

Die Binomialverteilung verwenden, obwohl ohne Zurücklegen gezogen wird. Im Urnenbeispiel ergäbe $\binom{3}{2} \cdot 0{,}4^2 \cdot 0{,}6 = 0{,}288$ statt $0{,}3$ .
Im zweiten Faktor des Zählers falsche Zahlen einsetzen. Es sind die Nieten: $N - M$ Nieten, davon $n - k$ gezogen.
$M$ und $n$ verwechseln: $M$ ist, was in der Urne ist, $n$ ist, was gezogen wird.

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