Quartile und Boxplot

Mittelstufe

d_Q = Q_3 - Q_1

Voraussetzung: $x_1 \leq x_2 \leq \ldots \leq x_n,$ $n \geq 2$

$Q_1$: unteres Quartil, der Median der unteren Hälfte der Daten
$Q_3$: oberes Quartil, der Median der oberen Hälfte der Daten
$d_Q$: Quartilsabstand (Interquartilsabstand), die Breite der Box im Boxplot
$x_1, \ldots, x_n$: die Datenwerte, der Größe nach sortiert

Die Quartile teilen sortierte Daten in vier Viertel; Q₃ − Q₁ ist die Breite der mittleren Hälfte im Boxplot.

Erklärung

Der Median teilt sortierte Daten in zwei Hälften. Die Quartile teilen sie weiter in vier Viertel:

Das untere Quartil $Q_1$ ist der Median der unteren Hälfte. Etwa ein Viertel der Werte liegt darunter.
Der Median $\tilde{x}$ ist das mittlere Quartil $Q_2$ .
Das obere Quartil $Q_3$ ist der Median der oberen Hälfte. Etwa ein Viertel der Werte liegt darüber.

Bei einer ungeraden Anzahl von Werten gehört der Median selbst zu keiner der beiden Hälften. Achtung: Schulbücher, Taschenrechner und Tabellenprogramme verwenden teils leicht andere Regeln. Bei kleinen Datenmengen können die Quartile deshalb etwas voneinander abweichen.

Der Quartilsabstand $d_Q = Q_3 - Q_1$ gibt an, wie breit die mittlere Hälfte der Daten ist. Anders als die Spannweite reagiert er kaum auf Ausreißer.

Ein Boxplot stellt die Fünf-Punkte-Zusammenfassung dar: Minimum, $Q_1$ , Median, $Q_3$ , Maximum. Die Box reicht von $Q_1$ bis $Q_3$ , ein Strich in der Box markiert den Median, und die „Antennen“ reichen bis zum Minimum und Maximum.

Beispiele

Elf Werte, sortiert: $2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 20$ .

Median: der $\frac{11 + 1}{2} = 6$ . Wert, also $\tilde{x} = 8$ .
Untere Hälfte $2, 3, 5, 6, 7$ : $Q_1 = 5$ . Obere Hälfte $9, 10, 12, 14, 20$ : $Q_3 = 12$ .
Quartilsabstand $d_Q = 12 - 5 = 7$ , Spannweite $20 - 2 = 18$ .

Boxplot: Minimum $2$ , Box von $5$ bis $12$ mit Strich bei $8$ , Maximum $20$ . Nach einer verbreiteten Faustregel gilt ein Wert als Ausreißer, wenn er mehr als $1{,}5 \cdot d_Q$ außerhalb der Box liegt. Die Grenzen sind hier $5 - 1{,}5 \cdot 7 = -5{,}5$ und $12 + 1{,}5 \cdot 7 = 22{,}5$ ; die $20$ ist also kein Ausreißer.

Acht Werte, sortiert: $1, 4, 4, 5, 7, 8, 9, 12$ .

Median: $\frac{5 + 7}{2} = 6$ .
Untere Hälfte $1, 4, 4, 5$ : $Q_1 = \frac{4 + 4}{2} = 4$ . Obere Hälfte $7, 8, 9, 12$ : $Q_3 = \frac{8 + 9}{2} = 8{,}5$ .
Quartilsabstand $d_Q = 8{,}5 - 4 = 4{,}5$ .

Typische Fehler

Die Daten nicht sortieren. Quartile und Median gibt es nur für die sortierte Liste.
Den Quartilsabstand mit der Spannweite verwechseln. $d_Q$ nutzt $Q_1$ und $Q_3$ , nicht Minimum und Maximum.
Im Boxplot den Mittelwert statt des Medians einzeichnen.
Annehmen, in jedem Abschnitt des Boxplots lägen gleich viele verschiedene Werte. Gemeint ist: etwa gleich viele Datenwerte, ein Viertel pro Abschnitt.

Quartile und Boxplot