Erwartungswert und Varianz der Poisson-Verteilung

Studium

E(X) = \lambda, \qquad V(X) = \lambda, \qquad \sigma = \sqrt{\lambda}

Voraussetzung: $X$ $Poisson-verteilt mit Parameter$ $\lambda > 0$

$X$: Poisson-verteilte Zufallsgröße, z.B. Anzahl der Ereignisse pro Zeitraum
$E(X)$: Erwartungswert
$V(X)$: Varianz, auch Var(X) geschrieben
$\sigma$: Standardabweichung
$\lambda$: Parameter der Poisson-Verteilung, mittlere Anzahl der Ereignisse

Bei der Poisson-Verteilung sind Erwartungswert und Varianz beide gleich λ, die Standardabweichung ist √λ.

Erklärung

Für eine Poisson-verteilte Zufallsgröße $X$ mit $P(X = k) = \frac{\lambda^k}{k!}\,e^{-\lambda}$ stimmen Erwartungswert und Varianz überein. Das ist ein Kennzeichen der Poisson-Verteilung: Ist bei Zähldaten die empirische Varianz deutlich größer als der Mittelwert (Überdispersion), passt das Poisson-Modell nicht.

Herleitung über die Exponentialreihe $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} = e^{\lambda}$ :

E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot \frac{\lambda^k}{k!}\,e^{-\lambda} = \lambda \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}\,e^{-\lambda} = \lambda

Genauso ergibt sich $E\big(X(X-1)\big) = \lambda^2$ . Mit dem Verschiebungssatz folgt

V(X) = E\big(X(X-1)\big) + E(X) - \big(E(X)\big)^2 = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 = \lambda

Der Variationskoeffizient $\frac{\sigma}{E(X)} = \frac{1}{\sqrt{\lambda}}$ wird mit wachsendem $\lambda$ kleiner: Große Zählraten schwanken relativ weniger.

Beispiele

Für $\lambda = 3$ ergibt die Summe $\sum k \cdot P(X = k)$ den Wert $3$ und $\sum k^2 \cdot P(X = k)$ den Wert $12$ . Damit ist $V(X) = 12 - 3^2 = 3$ .

In einer Notaufnahme kommen nachts im Mittel $4$ Patienten pro Stunde an. Dann ist $\sigma = \sqrt{4} = 2$ : Werte von etwa $2$ bis $6$ Ankünften pro Stunde sind üblich.

Für eine ganze Nacht von $8$ Stunden ist $\lambda = 4 \cdot 8 = 32$ und

\sigma = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \approx 5{,}66

Die Standardabweichung wächst also nicht mit dem Faktor $8$ , sondern nur mit $\sqrt{8}$ .

Typische Fehler

Die Standardabweichung gleich $\lambda$ setzen. $\lambda$ ist die Varianz, $\sigma = \sqrt{\lambda}$ .
Beim Wechsel des Zeitraums $\sigma$ statt $\lambda$ skalieren. Man skaliert $\lambda$ und zieht danach die Wurzel.
Das Poisson-Modell trotz deutlich abweichender Varianz der Daten verwenden.

Erwartungswert und Varianz der Poisson-Verteilung