Vierfeldertafel

Mittelstufe

\begin{array}{c|c|c|c} & B & \overline{B} & \\ \hline A & P(A \cap B) & P(A \cap \overline{B}) & P(A) \\ \hline \overline{A} & P(\overline{A} \cap B) & P(\overline{A} \cap \overline{B}) & P(\overline{A}) \\ \hline & P(B) & P(\overline{B}) & 1 \end{array}

$A,\ B$: zwei Ereignisse oder Merkmale, z.B. „fährt Bus“ und „wohnt weit weg“
$\overline{A},\ \overline{B}$: die Gegenereignisse, „nicht A“ und „nicht B“
$P(A \cap B)$: Wahrscheinlichkeit, dass A und B zugleich eintreten
$P(A),\ P(B)$: Randwahrscheinlichkeiten, die Zeilen- und Spaltensummen

Die Vierfeldertafel ordnet die Wahrscheinlichkeiten zweier Merkmale so an, dass Zeilen und Spalten sich aufsummieren.

Erklärung

Eine Vierfeldertafel ordnet zwei Merkmale $A$ und $B$ in einer Tabelle an. Jedes Element gehört zu genau einem der vier inneren Felder, z.B. „ $A$ und nicht $B$ “.

Es gelten zwei einfache Regeln:

Jede Zeile und jede Spalte summiert sich zum Randwert: $P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B}) = P(A)$ .
Alle vier inneren Felder ergeben zusammen $1$ (oder bei absoluten Zahlen die Gesamtzahl).

Kennt man drei passende Werte, kann man die ganze Tafel ausfüllen. Die Tafel lässt sich mit absoluten Häufigkeiten (Anzahlen) oder mit Wahrscheinlichkeiten füllen. Aus ihr liest man auch bedingte Wahrscheinlichkeiten ab, z.B. $P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ , und prüft, ob $A$ und $B$ unabhängig sind: Das ist genau dann der Fall, wenn $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ gilt.

Beispiele

An einer Schule mit $400$ Schülerinnen und Schülern wird erfasst, wer mit dem Bus fährt ( $A$ ) und wer mehr als $5\,\text{km}$ entfernt wohnt ( $B$ ):

	$B$	$\overline{B}$	Summe
$A$	$150$	$30$	$180$
$\overline{A}$	$20$	$200$	$220$
Summe	$170$	$230$	$400$

Eine zufällig gewählte Person fährt mit Wahrscheinlichkeit $P(A \cap B) = \frac{150}{400} = 0{,}375$ Bus und wohnt weit weg. Busfahrer insgesamt: $P(A) = \frac{180}{400} = 0{,}45$ . Von denen, die weit weg wohnen, fahren $\frac{150}{170} \approx 0{,}882$ mit dem Bus.

Gegeben sind $P(A) = 0{,}3$ , $P(B) = 0{,}6$ und $P(A \cap B) = 0{,}12$ . Ergänzen der Tafel:

$P(A \cap \overline{B}) = 0{,}3 - 0{,}12 = 0{,}18$
$P(\overline{A} \cap B) = 0{,}6 - 0{,}12 = 0{,}48$
$P(\overline{A}) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7$ , also $P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0{,}7 - 0{,}48 = 0{,}22$

Kontrolle über die Spalte $\overline{B}$ : $0{,}4 - 0{,}18 = 0{,}22$ . Wegen $P(A) \cdot P(B) = 0{,}3 \cdot 0{,}6 = 0{,}18 \neq 0{,}12$ sind $A$ und $B$ nicht unabhängig.

Typische Fehler

$P(A \cap B)$ und $P_B(A)$ verwechseln. Im ersten Beispiel ist $0{,}375$ der Anteil an allen Personen, $0{,}882$ der Anteil nur unter denen mit $B$ .
Randwerte in die inneren Felder schreiben. Innen stehen nur Kombinationen wie „ $A$ und $B$ “.
Die Gesamtsumme nicht prüfen. Ergeben die vier inneren Felder nicht $1$ (oder die Gesamtzahl), ist ein Wert falsch.

Vierfeldertafel