Pfadmultiplikationsregel

Mittelstufe

P(\text{Pfad}) = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_n

$P(\text{Pfad})$: Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses am Ende des Pfades
$p_1, p_2, \ldots, p_n$: Wahrscheinlichkeiten an den Ästen entlang des Pfades; ab der zweiten Stufe bedingte Wahrscheinlichkeiten, gegeben den bisherigen Pfad
$n$: Anzahl der Stufen des Zufallsexperiments

Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades im Baumdiagramm ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades.

Erklärung

Läuft ein Zufallsexperiment in mehreren Stufen ab, stellt man es als Baumdiagramm dar. Jeder Weg von der Wurzel bis zu einem Endpunkt ist ein Pfad und steht für ein Ergebnis.

Die Pfadmultiplikationsregel (1. Pfadregel) sagt: Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt aller Wahrscheinlichkeiten an seinen Ästen.

Wichtig: An jedem Ast steht die Wahrscheinlichkeit unter der Bedingung, dass der Pfad bis dahin so verlaufen ist. Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändern sich deshalb die Zahlen in der zweiten Stufe. Zur Kontrolle: Die Äste, die von einem Punkt abgehen, ergeben zusammen $1$ .

Beispiele

In einem Beutel liegen $3$ rote und $5$ blaue Kugeln. Man zieht zweimal ohne Zurücklegen. Nach einer roten Kugel sind noch $2$ rote unter $7$ Kugeln:

P(\text{rot, rot}) = \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7} = \frac{6}{56} = \frac{3}{28} \approx 0{,}107

Dasselbe mit Zurücklegen: Die zweite Stufe sieht genauso aus wie die erste.

P(\text{rot, rot}) = \frac{3}{8} \cdot \frac{3}{8} = \frac{9}{64} \approx 0{,}141

Kontrolle ohne Zurücklegen: Alle vier Pfade zusammen ergeben

\frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7} + \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{7} + \frac{5}{8} \cdot \frac{3}{7} + \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{6 + 15 + 15 + 20}{56} = 1

Typische Fehler

Beim Ziehen ohne Zurücklegen die zweite Stufe nicht anpassen und $\frac{3}{8} \cdot \frac{3}{8}$ rechnen. Nach der ersten Kugel sind nur noch $7$ Kugeln im Beutel.
Entlang eines Pfades addieren statt multiplizieren. Addiert wird erst, wenn mehrere Pfade zu einem Ereignis gehören (Pfadadditionsregel).
Die Wahrscheinlichkeiten in der zweiten Stufe falsch zuordnen, z.B. nach „blau“ die Zahlen von „rot“ eintragen. Jeder Ast hängt davon ab, was vorher passiert ist.

Pfadmultiplikationsregel