Diskrete Gleichverteilung

Oberstufe

P(X = k) = \frac{1}{n}, \qquad E(X) = \frac{n+1}{2}, \qquad V(X) = \frac{n^2 - 1}{12}

Voraussetzung: $X$ $nimmt die Werte$ $1,$ $2, \ldots, n$ $an$ $,$ $n \geq 1$

$X$: Zufallsgröße, die jeden der Werte 1 bis n mit gleicher Wahrscheinlichkeit annimmt
$k$: einer der möglichen Werte 1, 2, …, n
$n$: Anzahl der möglichen Werte
$E(X)$: Erwartungswert
$V(X)$: Varianz

Nimmt X die Werte 1 bis n gleich wahrscheinlich an, gilt E(X) = (n+1)/2 und V(X) = (n²−1)/12.

Erklärung

Eine Zufallsgröße heißt gleichverteilt, wenn alle ihre Werte dieselbe Wahrscheinlichkeit haben. Das ist die Zufallsgröße eines Laplace-Experiments, z.B. die Augenzahl eines fairen Würfels.

Die Formeln für Erwartungswert und Varianz gelten für die Werte $1, 2, \ldots, n$ . Liegen die Werte anders, z.B. $a, a+1, \ldots, b$ , verschiebt man: $E(X) = \frac{a+b}{2}$ , und die Varianz bleibt die von $n = b - a + 1$ Werten.

Der Erwartungswert liegt genau in der Mitte zwischen kleinstem und größtem Wert. Die Standardabweichung ist $\sigma = \sqrt{V(X)}$ .

Herleitung

Mit der Gaußschen Summenformel $1 + 2 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ :

E(X) = \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2}

Mit der Summe der Quadratzahlen ist $E(X^2) = \frac{(n+1)(2n+1)}{6}$ . Nach dem Verschiebungssatz $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ folgt

V(X) = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{(n+1)^2}{4} = \frac{n^2-1}{12}

Beispiele

Augenzahl eines fairen Würfels, $n = 6$ :

P(X = k) = \frac{1}{6}, \qquad E(X) = \frac{7}{2} = 3{,}5, \qquad V(X) = \frac{35}{12} \approx 2{,}92, \qquad \sigma \approx 1{,}71

Ein Programm zieht eine ganze Zufallszahl von $1$ bis $10$ :

E(X) = \frac{10 + 1}{2} = 5{,}5, \qquad V(X) = \frac{99}{12} = 8{,}25, \qquad \sigma \approx 2{,}87

Typische Fehler

Die Formeln für Werte verwenden, die nicht bei $1$ beginnen. Für $0$ bis $9$ ist $E(X) = 4{,}5$ , nicht $5{,}5$ .
$V(X)$ und $\sigma$ verwechseln. $\frac{n^2-1}{12}$ ist die Varianz, die Standardabweichung ist die Wurzel daraus.
Den Erwartungswert als möglichen Wert ansehen. Ein Würfel zeigt nie $3{,}5$ .

Diskrete Gleichverteilung