Ablehnungsbereich bei der Binomialverteilung

Oberstufe

\overline{A} = \{0; \ldots; k\} \text{ mit } P_{p_0}(X \leq k) \leq \alpha < P_{p_0}(X \leq k+1)

Voraussetzung: $X$ $unter$ $H_0$ $binomialverteilt mit$ $n$ $und$ $p_0,$ $linksseitiger Test$

$\overline{A}$: Ablehnungsbereich von H₀
$k$: kritischer Wert, die größte Trefferzahl, die noch im Ablehnungsbereich liegt
$X$: Testgröße, die Anzahl der Treffer in der Stichprobe
$p_0$: Trefferwahrscheinlichkeit laut Nullhypothese
$\alpha$: Signifikanzniveau
$P_{p_0}$: Wahrscheinlichkeit, berechnet mit p = p₀

Der Ablehnungsbereich ist der größte Randbereich, dessen Wahrscheinlichkeit unter H₀ höchstens α beträgt.

Erklärung

Der Ablehnungsbereich eines Tests enthält die Trefferzahlen, bei denen man die Nullhypothese verwirft. Er liegt an dem Rand, an dem die Ergebnisse gegen $H_0$ sprechen, und wird mit der Trefferwahrscheinlichkeit $p_0$ der Nullhypothese berechnet.

Die Formel zeigt den linksseitigen Test ( $H_1\colon p < p_0$ ). Man sucht das größte $k$ , für das die kumulierte Wahrscheinlichkeit $P(X \leq k)$ noch höchstens $\alpha$ ist. Die anderen Fälle:

Rechtsseitig ( $H_1\colon p > p_0$ ): $\overline{A} = \{k; \ldots; n\}$ mit dem kleinsten $k$ , für das $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1) \leq \alpha$ gilt.
Zweiseitig ( $H_1\colon p \neq p_0$ ): Man teilt $\alpha$ auf beide Seiten auf und bestimmt links und rechts je einen Bereich mit höchstens $\frac{\alpha}{2}$ .

Die übrigen Werte bilden den Annahmebereich $A$ . In der Praxis liest man die kumulierten Werte aus einer Tabelle ab oder probiert mit dem Taschenrechner benachbarte $k$ aus.

Beispiele

Eine Partei hatte bisher einen Stimmenanteil von $40\,\%$ . Es wird vermutet, dass er gesunken ist. Getestet wird $H_0\colon p \geq 0{,}4$ gegen $H_1\colon p < 0{,}4$ mit $n = 100$ Befragten auf dem Niveau $\alpha = 5\,\%$ .

P(X \leq 31) \approx 0{,}0398 \leq 0{,}05, \qquad P(X \leq 32) \approx 0{,}0615 > 0{,}05

Also ist $\overline{A} = \{0; \ldots; 31\}$ . Sprechen sich höchstens $31$ Befragte für die Partei aus, wird $H_0$ verworfen.

Zweiseitiger Test, ob eine Münze fair ist: $H_0\colon p = 0{,}5$ , $n = 100$ , $\alpha = 5\,\%$ . Auf jede Seite entfallen höchstens $\frac{0{,}05}{2} = 0{,}025$ .

P(X \leq 39) \approx 0{,}0176 \leq 0{,}025, \qquad P(X \leq 40) \approx 0{,}0284 > 0{,}025

Wegen der Symmetrie bei $p = 0{,}5$ ist der rechte Teil $\{61; \ldots; 100\}$ , denn $100 - 39 = 61$ . Ablehnungsbereich: $\overline{A} = \{0; \ldots; 39\} \cup \{61; \ldots; 100\}$ . Die tatsächliche Irrtumswahrscheinlichkeit ist $2 \cdot P(X \leq 39) \approx 0{,}0352$ .

Typische Fehler

Das erste $k$ nehmen, bei dem $P(X \leq k)$ größer als $\alpha$ ist. Der Ablehnungsbereich endet einen Wert davor.
Beim zweiseitigen Test auf jeder Seite das volle $\alpha$ verwenden. Jede Seite bekommt nur $\frac{\alpha}{2}$ .
Beim rechtsseitigen Test $P(X \geq k)$ als $1 - P(X \leq k)$ berechnen. Richtig ist $1 - P(X \leq k-1)$ .
Mit einem Wert aus $H_1$ statt mit $p_0$ rechnen.

Ablehnungsbereich bei der Binomialverteilung