Dichtefunktion

Erklärung

Eine stetige Zufallsgröße kann jeden Wert aus einem Intervall annehmen, z.B. eine Wartezeit oder eine Körpergröße. Statt einzelner Wahrscheinlichkeiten hat sie eine Dichtefunktion $f$. Wahrscheinlichkeiten sind Flächen unter ihrem Graphen.

Eine Funktion $f$ ist genau dann eine Dichtefunktion, wenn

• $f(x) \geq 0$ für alle $x$ gilt und
• die gesamte Fläche unter dem Graphen $1$ ist.

Daraus folgt: Für jeden einzelnen Wert ist $P(X = a) = 0$, denn über einem Punkt gibt es keine Fläche. Deshalb ist es egal, ob man $<$ oder $\leq$ schreibt. Der Funktionswert $f(x)$ selbst ist keine Wahrscheinlichkeit und kann größer als $1$ sein.

Ist $f$ außerhalb eines Intervalls null, integriert man nur über dieses Intervall.

Beispiele

Gegeben ist $f(x) = 0{,}5x$ für $0 \leq x \leq 2$ und $f(x) = 0$ sonst. Eine Stammfunktion ist $F(x) = \frac{x^2}{4}$. Die Fläche ist $\frac{2^2}{4} - \frac{0^2}{4} = 1$, und $f$ ist nicht negativ, also eine Dichte.

Für welches $c$ ist $f(x) = c x^2$ auf $[0; 3]$ (sonst $0$) eine Dichte? Die Fläche muss $1$ sein:

Damit ist $P(X \leq 1) = \frac{1}{9} \cdot \frac{1^3}{3} = \frac{1}{27} \approx 0{,}037$.

Typische Fehler

• Den Funktionswert als Wahrscheinlichkeit angeben. $f(2) = 1$ im ersten Beispiel heißt nicht, dass $X = 2$ sicher ist.
• Nur die Fläche prüfen. Eine Dichte darf außerdem nirgends negativ sein.
• Über den ganzen Zahlenstrahl mit der Formel von $f$ integrieren, obwohl $f$ außerhalb des Intervalls $0$ ist.