Stationäre Verteilung

Studium

A \cdot \vec{\pi} = \vec{\pi}, \qquad \pi_1 + \ldots + \pi_m = 1

Voraussetzung: $A$ $stochastische Matrix (Spaltensummen$ $1),$ $\pi_i \geq 0$

$A$: Übergangsmatrix; a_ij ist die Wahrscheinlichkeit für einen Wechsel von Zustand j nach Zustand i
$\vec{\pi}$: stationäre Verteilung (Fixvektor), die sich durch einen Schritt nicht ändert
$\pi_i$: langfristiger Anteil bzw. Wahrscheinlichkeit von Zustand i
$m$: Anzahl der Zustände

Eine stationäre Verteilung ist ein Wahrscheinlichkeitsvektor, den die Übergangsmatrix unverändert lässt; oft ist sie die Grenzverteilung.

Erklärung

Eine stationäre Verteilung einer Markow-Kette ist eine Verteilung auf die Zustände, die sich durch einen Übergang nicht mehr ändert. Startet die Kette in $\vec{\pi}$ , bleibt sie für alle Zeiten in $\vec{\pi}$ . Algebraisch ist $\vec{\pi}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert 1, normiert auf die Komponentensumme $1$ .

Berechnung: Man löst das lineare Gleichungssystem $(A - E)\,\vec{\pi} = \vec{0}$ mit der Einheitsmatrix $E$ zusammen mit der Normierung $\sum \pi_i = 1$ . Eine der Gleichungen aus $(A - E)\,\vec{\pi} = \vec{0}$ ist überflüssig und wird durch die Normierung ersetzt.

Existenz, Eindeutigkeit und Konvergenz für endlich viele Zustände:

Eine stationäre Verteilung existiert immer.
Sie ist eindeutig, wenn die Kette irreduzibel ist (jeder Zustand ist von jedem aus erreichbar).
Ist die Kette zusätzlich aperiodisch (z.B. wenn eine Potenz $A^k$ nur positive Einträge hat), dann konvergiert $A^n \cdot \vec{v}_0 \to \vec{\pi}$ für jeden Startvektor. $\vec{\pi}$ ist dann die Grenzverteilung.

Für zwei Zustände mit Wechselwahrscheinlichkeiten $a$ (von 1 nach 2) und $b$ (von 2 nach 1), $a + b > 0$ , gilt

\vec{\pi} = \begin{pmatrix} \frac{b}{a+b} \\[2pt] \frac{a}{a+b} \end{pmatrix}

In der Zeilenschreibweise vieler Lehrbücher lautet die Bedingung $\vec{\pi}^{\,T} P = \vec{\pi}^{\,T}$ mit $P = A^T$ .

Beispiele

Für die Anbieterwechsel mit $A = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}3 \\ 0{,}2 & 0{,}7 \end{pmatrix}$ liefert die erste Zeile von $A\vec{\pi} = \vec{\pi}$ :

0{,}8\,\pi_1 + 0{,}3\,\pi_2 = \pi_1 \quad \Rightarrow \quad 0{,}3\,\pi_2 = 0{,}2\,\pi_1

Mit $\pi_1 + \pi_2 = 1$ folgt $\pi_1 = 0{,}6$ und $\pi_2 = 0{,}4$ . Die Formel für zwei Zustände bestätigt das: $\frac{0{,}3}{0{,}2 + 0{,}3} = 0{,}6$ . Probe:

\begin{pmatrix} 0{,}8 \cdot 0{,}6 + 0{,}3 \cdot 0{,}4 \\ 0{,}2 \cdot 0{,}6 + 0{,}7 \cdot 0{,}4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}6 \\ 0{,}4 \end{pmatrix}

Langfristig hat Anbieter X also $60\,\%$ Marktanteil, egal wie die Anteile am Anfang verteilt sind. Der zweite Eigenwert ist $1 - 0{,}2 - 0{,}3 = 0{,}5$ , deshalb halbiert sich der Abstand zur stationären Verteilung mit jedem Schritt.

Gegenbeispiel zur Konvergenz: Bei $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ ist $\vec{\pi} = (0{,}5;\ 0{,}5)$ stationär, aber vom Start $(1;\ 0)$ aus springt die Verteilung ewig hin und her (Periode $2$ ).

Typische Fehler

Die Normierung vergessen. $A\vec{\pi} = \vec{\pi}$ allein hat unendlich viele Lösungen, alle Vielfachen von $\vec{\pi}$ .
Mit der falschen Konvention rechnen: Bei zeilenstochastischen Matrizen ist $\vec{\pi}^{\,T} P = \vec{\pi}^{\,T}$ zu lösen, nicht $P\vec{\pi} = \vec{\pi}$ .
Annehmen, die Kette konvergiere immer gegen $\vec{\pi}$ . Bei periodischen Ketten gilt das nicht.
Bei reduziblen Ketten eine eindeutige stationäre Verteilung erwarten.

Stationäre Verteilung