Exponentialverteilung

Studium

f(x) = \lambda \, e^{-\lambda x}

Voraussetzung: $\lambda > 0,$ $x \geq 0\ (\text{für } x < 0 \text{ ist } f(x) = 0)$

$f(x)$: Wert der Dichtefunktion an der Stelle x
$x$: Wartezeit oder Lebensdauer
$\lambda$: Rate, mittlere Anzahl Ereignisse pro Zeiteinheit; Kehrwert der mittleren Wartezeit
$e$: Eulersche Zahl, etwa 2,718

Die Exponentialverteilung beschreibt Wartezeiten und Lebensdauern ohne Alterung, mit Dichte λ·e^(−λx) für x ≥ 0.

Erklärung

Eine Zufallsgröße $X$ mit dieser Dichte heißt exponentialverteilt mit Rate $\lambda$ . Sie modelliert Wartezeiten zwischen zufälligen Ereignissen (z.B. bis zum nächsten Anruf) und Lebensdauern von Bauteilen, die nicht altern.

Wichtige Größen ( $V(X)$ ist die Varianz, auch $\operatorname{Var}(X)$ geschrieben):

F(x) = P(X \leq x) = 1 - e^{-\lambda x}, \qquad E(X) = \frac{1}{\lambda}, \qquad V(X) = \frac{1}{\lambda^2}

Der Median ist $\frac{\ln 2}{\lambda}$ , analog zur Halbwertszeit beim radioaktiven Zerfall.

Die Exponentialverteilung ist gedächtnislos:

P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t) \quad \text{für } s, t \geq 0

Ein Bauteil, das schon $s$ Stunden hält, ist danach „wie neu“. Für Teile mit Verschleiß ist das Modell deshalb ungeeignet.

Zusammenhang mit der Poisson-Verteilung: Treten Ereignisse Poisson-verteilt mit Rate $\lambda$ pro Zeiteinheit auf, sind die Wartezeiten zwischen ihnen exponentialverteilt mit derselben Rate.

Beispiele

Eine Lampe hält im Mittel $2000$ Stunden, also $\lambda = \frac{1}{2000} = 0{,}0005$ pro Stunde. Ausfall in den ersten $1000$ Stunden:

P(X \leq 1000) = 1 - e^{-0{,}0005 \cdot 1000} = 1 - e^{-0{,}5} \approx 0{,}3935

Länger als $4000$ Stunden hält sie mit $P(X > 4000) = e^{-0{,}0005 \cdot 4000} = e^{-2} \approx 0{,}1353$ .

Die Hälfte der Lampen fällt vor $\frac{\ln 2}{0{,}0005} \approx 1386$ Stunden aus, also deutlich vor dem Mittelwert $2000$ .

Typische Fehler

$\lambda$ mit der mittleren Wartezeit verwechseln. Bei einer mittleren Lebensdauer von $2000$ h ist $\lambda = 0{,}0005$ , nicht $2000$ .
Den Dichtewert $f(x)$ als Wahrscheinlichkeit lesen. Wahrscheinlichkeiten sind Flächen, also Werte von $F$ .
$P(X > x)$ mit $F(x)$ berechnen. Für „länger als“ gilt $P(X > x) = e^{-\lambda x}$ .
Erwartungswert und Median gleichsetzen. Wegen der schiefen Verteilung ist der Median kleiner.

Exponentialverteilung