Fehler 1. und 2. Art

Erklärung

Bei einem Hypothesentest kann man sich auf zwei Arten irren:

• Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art ($\alpha$-Fehler) berechnet man mit $p_0$. Sie ist durch das Signifikanzniveau begrenzt: $\alpha^* \leq \alpha$.
• Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art ($\beta$-Fehler) hängt vom wahren Wert $p$ ab, den man nicht kennt. Man berechnet sie deshalb für einen angenommenen Wert $p_1$ aus der Alternative.

Die beiden Fehler hängen zusammen: Ein kleinerer Ablehnungsbereich senkt $\alpha^*$, erhöht aber $\beta$. Beide zugleich verkleinert nur ein größerer Stichprobenumfang. Die Wahrscheinlichkeit $1 - \beta$, eine falsche Nullhypothese zu erkennen, heißt Güte oder Trennschärfe des Tests.

Beispiele

Ein neues Medikament soll besser wirken als das alte mit $60\,\%$. Getestet wird $H_0\colon p \leq 0{,}6$ an $n = 50$ Personen, Ablehnungsbereich $\overline{A} = \{37; \ldots; 50\}$.

Fehler 1. Art: Das Mittel ist nicht besser, trotzdem wirkt es zufällig bei mindestens $37$ Personen.

Fehler 2. Art: Das Mittel wirkt in Wahrheit bei $75\,\%$, der Test erkennt das aber nicht.

Die Güte für $p_1 = 0{,}75$ beträgt also nur $1 - \beta \approx 0{,}637$. Ein deutlich wirksameres Medikament bleibt mit etwa $36\,\%$ Wahrscheinlichkeit unentdeckt.

Würde man schon ab $36$ Erfolgen verwerfen, sänke $\beta$ auf $P_{0{,}75}(X \leq 35) \approx 0{,}2519$. Dafür stiege $\alpha^*$ auf $P_{0{,}6}(X \geq 36) \approx 0{,}0540$ und läge über $5\,\%$.

Typische Fehler

• $\beta$ mit $p_0$ berechnen. Für den Fehler 2. Art braucht man einen Wert $p_1$ aus der Alternative.
• $\alpha^* + \beta = 1$ annehmen. Die beiden Wahrscheinlichkeiten gehören zu verschiedenen Werten von $p$ und ergänzen sich nicht.
• Die Fehlerarten im Sachzusammenhang vertauschen. Fehler 1. Art bedeutet immer: $H_0$ wird zu Unrecht verworfen.