Additionssatz

Erklärung

Das Ereignis $A \cup B$ („A oder B“) tritt ein, wenn mindestens eines der beiden Ereignisse eintritt. Das mathematische „oder“ schließt den Fall ein, dass beide eintreten.

Addiert man einfach $P(A) + P(B)$, zählt man die Ergebnisse doppelt, die zu beiden Ereignissen gehören. Deshalb zieht man $P(A \cap B)$ einmal ab. Im Mengenbild (Venn-Diagramm) ist das die Überlappung der beiden Kreise.

Sonderfall: Können $A$ und $B$ nicht gleichzeitig eintreten (unvereinbare Ereignisse), ist $P(A \cap B) = 0$ und es gilt einfach $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

Beispiele

Ein Würfel wird geworfen. $A$: „gerade Zahl“ $= \{2, 4, 6\}$, $B$: „größer als 3“ $= \{4, 5, 6\}$. Beide treffen auf $\{4, 6\}$ zu:

Zur Kontrolle: $A \cup B = \{2, 4, 5, 6\}$ hat tatsächlich $4$ Elemente.

In einer Jahrgangsstufe spielen 40 % ein Instrument, 55 % treiben Sport im Verein und 20 % machen beides. Für eine zufällig ausgewählte Person gilt:

Mit der Gegenwahrscheinlichkeit folgt: 25 % machen keines von beiden.

Typische Fehler

• $P(A \cap B)$ vergessen. Im Beispiel käme $0{,}40 + 0{,}55 = 0{,}95$ heraus, bei anderen Zahlen sogar mehr als $1$.
• „Oder“ als „entweder … oder“ lesen. $P(A \cup B)$ enthält den Fall, dass beide eintreten. Für „genau eines von beiden“ zieht man $P(A \cap B)$ zweimal ab.
• $P(A \cap B)$ einfach als $P(A) \cdot P(B)$ berechnen. Das stimmt nur, wenn $A$ und $B$ unabhängig sind. Im Würfelbeispiel wäre $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ falsch, richtig ist $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
• Bei unvereinbaren Ereignissen trotzdem etwas abziehen: Für „1“ oder „2“ beim Würfel gilt einfach $\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$.