Multinomialverteilung

Studium

P(X_1 = k_1, \ldots, X_r = k_r) = \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdots k_r!} \cdot p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdots p_r^{k_r}

Voraussetzung: $k_i \in \mathbb{N}_0,$ $k_1 + \ldots + k_r = n,$ $p_i \geq 0,$ $p_1 + \ldots + p_r = 1$

$n$: Anzahl der unabhängigen Durchführungen
$r$: Anzahl der möglichen Ausgänge pro Durchführung
$X_i$: Anzahl der Durchführungen mit Ausgang i
$k_i$: gewünschte Anzahl für Ausgang i
$p_i$: Wahrscheinlichkeit für Ausgang i bei einer Durchführung
$\frac{n!}{k_1! \cdots k_r!}$: Multinomialkoeffizient, Anzahl der passenden Reihenfolgen

Wahrscheinlichkeit, bei n unabhängigen Versuchen mit r Ausgängen genau k₁-mal Ausgang 1, k₂-mal Ausgang 2 usw. zu erhalten.

Erklärung

Die Multinomialverteilung verallgemeinert die Binomialverteilung von zwei auf $r$ mögliche Ausgänge. Ein Zufallsexperiment mit den Ausgängen $1, \ldots, r$ und festen Wahrscheinlichkeiten $p_1, \ldots, p_r$ wird $n$ -mal unabhängig wiederholt. $X_i$ zählt, wie oft Ausgang $i$ eintritt. Es gilt immer $X_1 + \ldots + X_r = n$ .

Die Formel entsteht wie bei der Binomialverteilung:

Eine feste Reihenfolge mit $k_1$ -mal Ausgang 1, $k_2$ -mal Ausgang 2 usw. hat die Wahrscheinlichkeit $p_1^{k_1} \cdots p_r^{k_r}$ .
Die Anzahl solcher Reihenfolgen ist der Multinomialkoeffizient $\frac{n!}{k_1! \cdots k_r!}$ (Permutationen mit Wiederholung).

Kenngrößen: Jedes einzelne $X_i$ ist binomialverteilt mit $n$ und $p_i$ , also $E(X_i) = n p_i$ und $V(X_i) = n p_i (1 - p_i)$ . Die $X_i$ sind nicht unabhängig: $\operatorname{Cov}(X_i, X_j) = -n p_i p_j$ für $i \neq j$ , denn mehr Ergebnisse in einer Klasse lassen weniger für die anderen übrig.

Für $r = 2$ ergibt sich genau die Binomialverteilung.

Beispiele

Ein fairer Würfel wird $6$ -mal geworfen. Jede Augenzahl genau einmal:

P = \frac{6!}{1! \cdots 1!} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^6 = \frac{720}{46656} \approx 0{,}0154

Bei einer Wahl erhalten drei Parteien $50\,\%$ , $30\,\%$ und $20\,\%$ . Unter $5$ zufällig Befragten genau $2$ , $2$ und $1$ Wähler:

P = \frac{5!}{2! \cdot 2! \cdot 1!} \cdot 0{,}5^2 \cdot 0{,}3^2 \cdot 0{,}2 = 30 \cdot 0{,}0045 = 0{,}135

Eine Maschine produziert $60\,\%$ Ware erster Wahl, $30\,\%$ zweiter Wahl und $10\,\%$ Ausschuss. Unter $10$ Teilen genau $5$ , $3$ und $2$ :

P = \frac{10!}{5! \cdot 3! \cdot 2!} \cdot 0{,}6^5 \cdot 0{,}3^3 \cdot 0{,}1^2 = 2520 \cdot 0{,}6^5 \cdot 0{,}3^3 \cdot 0{,}1^2 \approx 0{,}0529

Im Mittel sind $10 \cdot 0{,}6 = 6$ Teile erster Wahl.

Typische Fehler

Nur einige der Fakultäten in den Nenner schreiben. Für jede Klasse gehört $k_i!$ in den Nenner, auch $0! = 1$ und $1! = 1$ .
Nicht prüfen, ob die $k_i$ zusammen $n$ ergeben und die $p_i$ zusammen $1$ .
Die Formel beim Ziehen ohne Zurücklegen verwenden. Dann ändern sich die $p_i$ , und die multivariate hypergeometrische Verteilung ist richtig.
Die Anzahlen $X_i$ als unabhängig behandeln. Sie sind negativ korreliert.

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