Gauß-Test

Studium

z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}

Voraussetzung: $X_1, \ldots, X_n$ $unabhängig$ $,$ $N(\mu, \sigma^2)$ $-verteilt$ $mit bekanntem$ $\sigma > 0$

$z$: Wert der Testgröße, unter H₀ standardnormalverteilt
$\bar{x}$: arithmetisches Mittel der Stichprobe
$\mu_0$: Erwartungswert laut Nullhypothese
$\sigma$: bekannte Standardabweichung der Grundgesamtheit
$n$: Stichprobenumfang

Der Gauß-Test prüft eine Hypothese über den Erwartungswert, wenn die Standardabweichung der Grundgesamtheit bekannt ist.

Erklärung

Der Gauß-Test prüft, ob der Erwartungswert $\mu$ einer normalverteilten Größe einem vorgegebenen Wert $\mu_0$ entspricht. Die Standardabweichung $\sigma$ muss bekannt sein, z.B. aus langer Erfahrung mit einem Messgerät. Unter $H_0\colon \mu = \mu_0$ ist die Testgröße standardnormalverteilt.

Entscheidungsregeln zum Signifikanzniveau $\alpha$ mit Quantilen $z_q$ der Standardnormalverteilung:

Nullhypothese	Alternative	$H_0$ verwerfen, wenn
$\mu = \mu_0$	$\mu \neq \mu_0$	$\lvert z \rvert > z_{1-\alpha/2}$
$\mu \leq \mu_0$	$\mu > \mu_0$	$z > z_{1-\alpha}$
$\mu \geq \mu_0$	$\mu < \mu_0$	$z < -z_{1-\alpha}$

Für $\alpha = 5\,\%$ ist $z_{0{,}975} = 1{,}96$ und $z_{0{,}95} = 1{,}645$ . Gleichwertig vergleicht man den p-Wert mit $\alpha$ . Ist $\sigma$ unbekannt, nimmt man den t-Test. Für große $n$ ist der Gauß-Test auch ohne Normalverteilung näherungsweise gültig (zentraler Grenzwertsatz).

Beispiele

Eine Maschine füllt Beutel mit Sollgewicht $\mu_0 = 500\,\text{g}$ , die Standardabweichung ist bekannt: $\sigma = 5\,\text{g}$ . Eine Stichprobe von $n = 25$ Beuteln ergibt $\bar{x} = 502{,}3\,\text{g}$ . Zweiseitig mit $\alpha = 5\,\%$ :

z = \frac{502{,}3 - 500}{5 / \sqrt{25}} = \frac{2{,}3}{1} = 2{,}3 > 1{,}96

$H_0$ wird verworfen, die Maschine füllt signifikant falsch ab. Der einseitige p-Wert ist $1 - \Phi(2{,}3) \approx 0{,}0107$ , der zweiseitige $2 \cdot 0{,}0107 \approx 0{,}0214$ .

Linksseitig ( $H_1\colon \mu < 500$ ) mit $\bar{x} = 498{,}4$ :

z = \frac{498{,}4 - 500}{1} = -1{,}6 > -1{,}645

$H_0$ wird knapp nicht verworfen, der p-Wert ist $\Phi(-1{,}6) \approx 0{,}0548$ .

Typische Fehler

$\sigma$ statt $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ im Nenner. Dann wird fast nie etwas signifikant.
Den Gauß-Test verwenden, obwohl $\sigma$ nur aus der Stichprobe geschätzt wurde. Dann ist der t-Test richtig.
Beim zweiseitigen Test das Quantil $z_{0{,}95} = 1{,}645$ statt $z_{0{,}975} = 1{,}96$ nehmen.
Das Nichtverwerfen von $H_0$ als Beweis für $H_0$ werten. Es fehlt nur die Evidenz dagegen.

Gauß-Test

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Typische Fehler

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