Chi-Quadrat-Anpassungstest

Studium

\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(N_i - n p_i)^2}{n p_i}

Voraussetzung: $n p_i \geq 5$ $für alle$ $i$ $(Faustregel)$ $,$ $p_1 + \ldots + p_k = 1$

$\chi^2$: Wert der Testgröße
$k$: Anzahl der Klassen (Kategorien)
$N_i$: beobachtete Häufigkeit in Klasse i
$n$: Stichprobenumfang, Summe aller N_i
$p_i$: Wahrscheinlichkeit der Klasse i laut Nullhypothese
$n p_i$: erwartete Häufigkeit in Klasse i unter H₀

Der Chi-Quadrat-Anpassungstest prüft, ob beobachtete Häufigkeiten zu einer vermuteten Verteilung passen.

Erklärung

Mit dem Chi-Quadrat-Anpassungstest prüft man, ob eine Stichprobe zu einer vermuteten Verteilung passt. Die $n$ Beobachtungen werden in $k$ Klassen eingeteilt. Unter $H_0$ erwartet man in Klasse $i$ die Häufigkeit $n p_i$ . Die Testgröße summiert die quadrierten Abweichungen, jeweils relativ zur erwarteten Häufigkeit.

Unter $H_0$ ist $\chi^2$ für großes $n$ näherungsweise Chi-Quadrat-verteilt mit

k - 1 - m \ \text{Freiheitsgraden},

wobei $m$ die Anzahl der aus den Daten geschätzten Parameter ist (bei vollständig vorgegebenen $p_i$ ist $m = 0$ ). Man verwirft $H_0$ , wenn $\chi^2$ das Quantil $\chi^2_{k-1-m;\,1-\alpha}$ überschreitet. Der Test ist immer rechtsseitig: Nur große Abweichungen sprechen gegen $H_0$ .

Kritische Werte für $\alpha = 5\,\%$ : $3{,}841$ (1 Freiheitsgrad), $5{,}991$ (2), $7{,}815$ (3), $9{,}488$ (4), $11{,}070$ (5).

Die Näherung ist nur brauchbar, wenn alle erwarteten Häufigkeiten mindestens $5$ sind. Sonst fasst man Klassen zusammen.

Rechenvorteil: $\chi^2 = \sum_{i} \frac{N_i^2}{n p_i} - n$ .

Beispiele

Ein Würfel wird $120$ -mal geworfen. Unter $H_0$ (fairer Würfel) erwartet man je Augenzahl $120 \cdot \frac{1}{6} = 20$ . Beobachtet werden $15, 22, 18, 25, 17, 23$ :

\chi^2 = \frac{25 + 4 + 4 + 25 + 9 + 9}{20} = \frac{76}{20} = 3{,}8

Mit $k - 1 = 5$ Freiheitsgraden ist der kritische Wert $11{,}07$ . Wegen $3{,}8 < 11{,}07$ wird $H_0$ nicht verworfen.

Ein Vererbungsmodell sagt die Anteile $50\,\%$ , $30\,\%$ , $20\,\%$ voraus. Bei $200$ Pflanzen erwartet man $100$ , $60$ , $40$ und beobachtet $118$ , $60$ , $22$ :

\chi^2 = \frac{18^2}{100} + \frac{0^2}{60} + \frac{18^2}{40} = 3{,}24 + 0 + 8{,}1 = 11{,}34

Mit $2$ Freiheitsgraden ist der kritische Wert $5{,}991$ . Das Modell wird auf dem $5\,\%$ -Niveau verworfen.

Typische Fehler

Durch die beobachtete statt durch die erwartete Häufigkeit teilen.
Mit relativen Häufigkeiten statt mit absoluten Anzahlen rechnen. Die Testgröße hängt von $n$ ab.
Die Freiheitsgrade falsch zählen: Es sind $k - 1$ , nicht $k$ , und für jeden geschätzten Parameter einer weniger.
Den Test trotz erwarteter Häufigkeiten unter $5$ anwenden, ohne Klassen zusammenzufassen.

Chi-Quadrat-Anpassungstest