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t-Test

t-Test

Studium
t=xˉ−μ0s/nt = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}

Voraussetzung: X1,…,XnX_1, \ldots, X_n unabhängig,, N(μ,σ2)N(\mu, \sigma^2)-verteilt mit unbekanntem σ,\sigma, n≥2,n \geq 2, s>0s > 0

tt
Wert der Testgröße, unter H₀ t-verteilt mit n − 1 Freiheitsgraden
xˉ\bar{x}
arithmetisches Mittel der Stichprobe
μ0\mu_0
Erwartungswert laut Nullhypothese
ss
korrigierte Standardabweichung der Stichprobe (mit n − 1 im Nenner)
nn
Stichprobenumfang

Der t-Test prüft eine Hypothese über den Erwartungswert, wenn die Standardabweichung aus der Stichprobe geschätzt wird.

Erklärung

Der t-Test prüft wie der Gauß-Test eine Hypothese H0 ⁣:μ=μ0H_0\colon \mu = \mu_0 über den Erwartungswert einer normalverteilten Größe. Hier ist σ\sigma jedoch unbekannt und wird durch die Stichprobenstandardabweichung ss ersetzt. Dadurch ist die Testgröße unter H0H_0 nicht standardnormalverteilt, sondern t-verteilt mit n−1n - 1 Freiheitsgraden.

Entscheidungsregeln zum Signifikanzniveau α\alpha:

  • zweiseitig (H1 ⁣:μ≠μ0H_1\colon \mu \neq \mu_0): verwerfen, wenn ∣t∣>tn−1; 1−α/2|t| > t_{n-1;\,1-\alpha/2}
  • rechtsseitig (H1 ⁣:μ>μ0H_1\colon \mu > \mu_0): verwerfen, wenn t>tn−1; 1−αt > t_{n-1;\,1-\alpha}
  • linksseitig (H1 ⁣:μ<μ0H_1\colon \mu < \mu_0): verwerfen, wenn t<−tn−1; 1−αt < -t_{n-1;\,1-\alpha}

Der gepaarte t-Test vergleicht zwei Messungen an denselben Objekten (vorher/nachher). Man bildet die Differenzen did_i und testet deren Mittelwert mit derselben Formel gegen μ0=0\mu_0 = 0. Für zwei unabhängige Stichproben gibt es den Zweistichproben-t-Test mit eigener Testgröße.

Der Test ist robust gegen leichte Abweichungen von der Normalverteilung, besonders bei größerem nn.

Beispiele

Ein Hersteller gibt eine mittlere Akkulaufzeit von 10 h10\,\text{h} an. Ein Test mit n=16n = 16 Geräten ergibt xˉ=10,6 h\bar{x} = 10{,}6\,\text{h} und s=1,2 hs = 1{,}2\,\text{h}:

t=10,6−101,2/16=0,60,3=2,0t = \frac{10{,}6 - 10}{1{,}2 / \sqrt{16}} = \frac{0{,}6}{0{,}3} = 2{,}0
  • Zweiseitig mit α=5 %\alpha = 5\,\%: t15; 0,975=2,131t_{15;\,0{,}975} = 2{,}131. Wegen 2,0<2,1312{,}0 < 2{,}131 wird H0H_0 nicht verworfen.
  • Rechtsseitig (H1 ⁣:μ>10H_1\colon \mu > 10): t15; 0,95=1,753t_{15;\,0{,}95} = 1{,}753. Wegen 2,0>1,7532{,}0 > 1{,}753 wird H0H_0 verworfen.

Die Wahl der Alternative muss deshalb vor dem Blick auf die Daten feststehen.

Gepaarter Test: Sechs Personen absolvieren einen Test vor und nach einem Training. Die Verbesserungen sind 3,−1,4,2,0,43, -1, 4, 2, 0, 4 Punkte. Mittelwert dˉ=2\bar{d} = 2, Varianz s2=225=4,4s^2 = \frac{22}{5} = 4{,}4:

t=24,4/6≈2,34t = \frac{2}{\sqrt{4{,}4} / \sqrt{6}} \approx 2{,}34

Mit t5; 0,975=2,571t_{5;\,0{,}975} = 2{,}571 ist die Verbesserung zweiseitig auf dem 5 %5\,\%-Niveau nicht signifikant.

Typische Fehler

  • Mit nn statt n−1n - 1 Freiheitsgraden in der Tabelle nachschlagen.
  • Die unkorrigierte Standardabweichung (Nenner nn) für ss verwenden.
  • Vorher-nachher-Daten wie zwei unabhängige Stichproben behandeln. Bei Paaren rechnet man mit den Differenzen.
  • Ein- oder zweiseitig erst nach Ansicht der Daten wählen, um ein signifikantes Ergebnis zu bekommen.

Verwandte Formeln