Zentraler Grenzwertsatz

Studium

\lim_{n \to \infty} P\left(\frac{S_n - n\mu}{\sigma \sqrt{n}} \leq z\right) = \Phi(z), \quad S_n = X_1 + \ldots + X_n

Voraussetzung: $X_1, X_2, \ldots$ $unabhängig und identisch$ $verteilt$ $,$ $E(X_i) = \mu,$ $0 < V(X_i) = \sigma^2 < \infty,$ $z \in \mathbb{R}$

$X_1, \ldots, X_n$: unabhängige, identisch verteilte Zufallsgrößen
$S_n$: Summe der ersten n Zufallsgrößen
$n$: Anzahl der Summanden
$\mu$: Erwartungswert jedes einzelnen X_i
$\sigma$: Standardabweichung jedes einzelnen X_i
$z$: beliebige reelle Schranke
$\Phi$: Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung

Die standardisierte Summe vieler unabhängiger, gleich verteilter Zufallsgrößen ist für große n annähernd standardnormalverteilt.

Erklärung

Der zentrale Grenzwertsatz erklärt, warum die Normalverteilung so oft auftritt: Addiert man viele unabhängige Zufallsgrößen mit derselben Verteilung, so ist die Summe näherungsweise normalverteilt, egal wie die einzelnen Summanden verteilt sind. Es genügt, dass Erwartungswert $\mu$ und Varianz $\sigma^2$ existieren und $\sigma > 0$ ist.

Für die Praxis liest man den Satz als Näherung für großes $n$ :

S_n \approx N\!\left(n\mu,\ n\sigma^2\right), \qquad \bar{X}_n = \frac{S_n}{n} \approx N\!\left(\mu,\ \frac{\sigma^2}{n}\right)

Die Standardabweichung des Mittelwerts ist also $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ (Standardfehler). Der Satz ist eine Aussage über Konvergenz in Verteilung: Die Verteilungsfunktionen konvergieren an jeder Stelle $z$ gegen $\Phi(z)$ .

Wie groß $n$ sein muss, hängt von der Schiefe der Ausgangsverteilung ab. Für symmetrische Verteilungen reicht oft $n \approx 30$ , für stark schiefe Verteilungen braucht man deutlich mehr. Der Satz von Moivre-Laplace ist der Spezialfall für Bernoulli-verteilte Summanden.

Beispiele

Ein fairer Würfel wird $100$ -mal geworfen. Für einen Wurf gilt $\mu = 3{,}5$ und $\sigma^2 = \frac{35}{12}$ . Für die Augensumme $S_{100}$ ist $E(S_{100}) = 100 \cdot 3{,}5 = 350$ und

\sigma_{S} = \sqrt{100 \cdot \tfrac{35}{12}} \approx 17{,}08

Da $S_{100}$ nur ganze Zahlen annimmt, rechnet man mit Stetigkeitskorrektur:

P(S_{100} \leq 370) \approx \Phi\!\left(\frac{370{,}5 - 350}{17{,}08}\right) \approx \Phi(1{,}20) \approx 0{,}885

Die Lebensdauer eines Bauteils hat Erwartungswert $5$ Jahre und Standardabweichung $5$ Jahre (stark schief, z.B. exponentialverteilt). Für den Mittelwert von $36$ Bauteilen gilt näherungsweise $\bar{X} \approx N\!\left(5,\ \left(\frac{5}{6}\right)^2\right)$ , denn $\frac{5}{\sqrt{36}} = \frac{5}{6}$ . Damit

P(\bar{X} > 6) \approx 1 - \Phi\!\left(\frac{6 - 5}{5/6}\right) = 1 - \Phi(1{,}2) \approx 0{,}1151

Typische Fehler

Behaupten, die einzelnen $X_i$ würden normalverteilt. Nur die Summe bzw. der Mittelwert ist näherungsweise normalverteilt.
Beim Mittelwert mit $\sigma$ statt $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ standardisieren. Das unterschätzt die Konzentration um $\mu$ stark.
Den Satz ohne Voraussetzungen anwenden. Bei unendlicher Varianz (z.B. Cauchy-Verteilung) oder stark abhängigen Summanden gilt er nicht.
Den zentralen Grenzwertsatz mit dem Gesetz der großen Zahlen verwechseln. Dieses sagt nur $\bar{X}_n \to \mu$ , nicht, wie die Abweichung verteilt ist.

Zentraler Grenzwertsatz