Laplace-Wahrscheinlichkeit

Mittelstufe

P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}

Voraussetzung: $\Omega$ $endlich$ $,$ $alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich$

$P(A)$: Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A
$A$: Ereignis, die Menge der „günstigen“ Ergebnisse
$|A|$: Anzahl der Ergebnisse, die zu A gehören
$\Omega$: Ergebnismenge, alle möglichen Ergebnisse des Experiments
$|\Omega|$: Anzahl aller möglichen Ergebnisse

Sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, ist P(A) die Zahl günstiger durch die Zahl möglicher Ergebnisse.

Erklärung

Ein Zufallsexperiment heißt Laplace-Experiment, wenn es nur endlich viele Ergebnisse gibt und jedes Ergebnis gleich wahrscheinlich ist. Beispiele sind ein fairer Würfel, eine faire Münze oder das Ziehen aus gut gemischten Losen.

Dann zählt man nur:

P(A) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}

Die Formel gilt nur, wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Bei einem gezinkten Würfel oder bei Ergebnissen wie „Augensumme“ muss man vorher prüfen, ob das stimmt.

Beispiele

Ein fairer Würfel wird einmal geworfen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für eine Primzahl. Günstig sind $2$ , $3$ und $5$ :

P(\text{Primzahl}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

Bei einer Tombola liegen $50$ Lose in der Box, $8$ davon gewinnen:

P(\text{Gewinn}) = \frac{8}{50} = 0{,}16 = 16\,\%

Zwei Würfel, gesucht ist die Augensumme $7$ . Man zählt die $36$ gleich wahrscheinlichen Paare (erster Würfel, zweiter Würfel). Günstig sind $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ :

P(\text{Summe } 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 16{,}7\,\%

Typische Fehler

Nicht gleich wahrscheinliche Ergebnisse zählen: Die Augensummen $2$ bis $12$ sind $11$ Ergebnisse, aber sie sind nicht gleich wahrscheinlich. Deshalb ist $P(\text{Summe } 7)$ nicht $\frac{1}{11}$ . Richtig ist, die $36$ Paare zu zählen.
Bei zwei Münzwürfen „0, 1 oder 2-mal Kopf“ als drei gleich wahrscheinliche Fälle ansehen. Richtig: Es gibt die vier Fälle KK, KZ, ZK, ZZ, also $P(\text{genau einmal Kopf}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ .
Die Laplace-Formel auf echte Daten anwenden, etwa auf einen gezinkten Würfel. Dann braucht man relative Häufigkeiten aus vielen Versuchen.

Laplace-Wahrscheinlichkeit