Korrigierte Stichprobenvarianz

Studium

s_{n-1}^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2

Voraussetzung: $n \geq 2$

$s_{n-1}^2$: korrigierte Stichprobenvarianz (Teiler n − 1)
$n$: Stichprobenumfang
$x_i$: der i-te Stichprobenwert
$i$: Laufindex von 1 bis n
$\bar{x}$: arithmetisches Mittel der Stichprobe

Die korrigierte Stichprobenvarianz teilt die Summe der quadrierten Abweichungen durch n − 1 und schätzt σ² erwartungstreu.

Erklärung

Bezeichnung: Auf der Seite zur empirischen Varianz steht $s^2$ für die Variante mit Teiler $n$ . Hier heißt die Variante mit Teiler $n - 1$ deshalb $s_{n-1}^2$ . In Büchern und auf Taschenrechnern wird $s^2$ für beide Varianten verwendet, daher immer auf den Teiler achten.

Die Werte $x_1, \ldots, x_n$ seien eine Stichprobe aus einer Grundgesamtheit mit unbekannter Varianz $\sigma^2$ . Teilt man die Summe der quadrierten Abweichungen durch $n - 1$ statt durch $n$ , erhält man einen erwartungstreuen Schätzer: Für unabhängige, identisch verteilte Stichprobenvariablen gilt $E(S_{n-1}^2) = \sigma^2$ .

Warum $n - 1$ ? Die Abweichungen werden vom Stichprobenmittel $\bar{x}$ gemessen, nicht vom wahren Erwartungswert $\mu$ . Weil $\bar{x}$ aus denselben Daten berechnet wird, liegt es systematisch näher an den Werten, und die Quadratsumme fällt zu klein aus. Genauer gilt $E\big(\sum (X_i - \bar{X})^2\big) = (n-1)\sigma^2$ . Man spricht von Bessel-Korrektur; $n - 1$ ist die Zahl der Freiheitsgrade, da die Abweichungen sich zu $0$ summieren.

Der Verschiebungssatz lautet hier

s_{n-1}^2 = \frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n\,\bar{x}^2\right)

Die Wurzel $s_{n-1} = \sqrt{s_{n-1}^2}$ ist die übliche Schätzung der Standardabweichung, aber selbst nicht erwartungstreu für $\sigma$ (sie unterschätzt im Mittel leicht).

Beispiele

Stichprobe $2, 4, 4, 5, 10$ mit $n = 5$ und $\bar{x} = 5$ . Die Abweichungen $-3, -1, -1, 0, 5$ haben die Quadratsumme $36$ :

s_{n-1}^2 = \frac{36}{5 - 1} = 9, \qquad s_{n-1} = 3

Mit dem Verschiebungssatz: $\sum x_i^2 = 161$ , also $s_{n-1}^2 = \frac{161 - 5 \cdot 5^2}{4} = 9$ .

Die empirische Varianz mit Teiler $n$ (dort $s^2$ geschrieben) wäre $\frac{36}{5} = 7{,}2$ . Umrechnung: $7{,}2 \cdot \frac{5}{4} = 9$ .

Typische Fehler

Teiler $n$ und $n - 1$ verwechseln oder nicht angeben. Taschenrechner bieten meist beide an ( $\sigma_x$ bzw. $s_x$ ), und das Symbol $s^2$ steht je nach Quelle für die eine oder die andere Variante.
Die Formel mit $n - 1$ verwenden, obwohl die Daten die gesamte Grundgesamtheit sind. Dann ist die Varianz mit Teiler $n$ die richtige Kenngröße.
Annehmen, $s_{n-1}$ sei erwartungstreu für $\sigma$ , nur weil $s_{n-1}^2$ es für $\sigma^2$ ist.
Im Verschiebungssatz $\bar{x}^2$ ohne den Faktor $n$ abziehen.

Korrigierte Stichprobenvarianz