Standardabweichung

Oberstufe

s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}

Voraussetzung: $n \geq 1$

$s$: empirische Standardabweichung der Daten
$s^2$: empirische Varianz der Daten
$n$: Anzahl der Datenwerte
$x_i$: der i-te Datenwert
$i$: Laufindex von 1 bis n
$\bar{x}$: arithmetisches Mittel der Daten

Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz und misst die Streuung in der Einheit der Daten.

Erklärung

Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz. Sie misst, wie weit die Werte typischerweise vom Mittelwert entfernt liegen. Durch die Wurzel hat sie wieder dieselbe Einheit wie die Daten und ist deshalb leichter zu deuten als die Varianz.

Wie bei der Varianz gibt es zwei Varianten: mit $\frac{1}{n}$ (Streuung der vorliegenden Daten, hier angegeben) und mit $\frac{1}{n-1}$ (Stichprobenstandardabweichung, zum Schätzen der Streuung einer Grundgesamtheit). Man gibt an, welche gemeint ist.

Kurz: $s$ beschreibt die Streuung vorliegender Daten, $\sigma$ die Streuung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Für Zufallsgrößen heißt die Standardabweichung $\sigma$ . Statt Datenwerten und $\frac{1}{n}$ verwendet man die Werte $x_i$ der Zufallsgröße $X$ , ihre Wahrscheinlichkeiten und den Erwartungswert $\mu = E(X)$ :

\sigma = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\sum_{i=1}^{m} (x_i - \mu)^2 \cdot P(X = x_i)}

Dabei ist $m$ die Anzahl der möglichen Werte von $X$ .

Beispiele

Wartezeiten von $4$ , $7$ , $5$ , $9$ und $5$ Minuten haben den Mittelwert $6$ und die empirische Varianz $s^2 = \frac{16}{5} = 3{,}2\,\text{min}^2$ (siehe empirische Varianz). Damit:

s = \sqrt{3{,}2}\,\text{min} \approx 1{,}79\,\text{min}

Mit $n - 1$ im Nenner wäre es $\sqrt{\frac{16}{4}} = 2\,\text{min}$ .

Zufallsgröße: Ein Glücksrad zahlt $0$ € mit Wahrscheinlichkeit $0{,}5$ , $2$ € mit $0{,}3$ und $5$ € mit $0{,}2$ . Erwartungswert $\mu = 0 \cdot 0{,}5 + 2 \cdot 0{,}3 + 5 \cdot 0{,}2 = 1{,}6$ €.

V(X) = (0 - 1{,}6)^2 \cdot 0{,}5 + (2 - 1{,}6)^2 \cdot 0{,}3 + (5 - 1{,}6)^2 \cdot 0{,}2 = 3{,}64

\sigma = \sqrt{3{,}64} \approx 1{,}91

Die Auszahlung weicht also typischerweise um rund $1{,}91$ € vom Erwartungswert ab.

Typische Fehler

Die Wurzel vergessen und die Varianz als Standardabweichung angeben.
Die Wurzel aus jedem Summanden einzeln ziehen. Die Wurzel gehört über die ganze Summe, erst summieren, dann teilen, dann Wurzel ziehen.
Empirische Standardabweichung ( $\frac{1}{n}$ ), Stichprobenstandardabweichung ( $\frac{1}{n-1}$ ) und $\sigma$ einer Zufallsgröße durcheinanderbringen. Der Taschenrechner zeigt oft mehrere Werte an.
Bei einer Zufallsgröße die Quadrate nicht mit den Wahrscheinlichkeiten gewichten, sondern einfach durch die Anzahl der Werte teilen.

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