Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit

Oberstufe

P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) \cdot P_{A_i}(B)

Voraussetzung: $A_1, \ldots, A_n$ $paarweise$ $unvereinbar$ $,$ $A_1 \cup \ldots \cup A_n = \Omega,$ $P(A_i) > 0$

$B$: das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit gesucht ist
$A_1, \ldots, A_n$: Zerlegung der Ergebnismenge in Fälle, die sich nicht überschneiden
$P(A_i)$: Wahrscheinlichkeit des i-ten Falls
$P_{A_i}(B)$: bedingte Wahrscheinlichkeit von B im i-ten Fall
$\Omega$: Ergebnismenge, also alle möglichen Ergebnisse
$n$: Anzahl der Fälle

P(B) ergibt sich als Summe über alle Fälle Aᵢ, jeweils P(Aᵢ) mal die bedingte Wahrscheinlichkeit von B im Fall Aᵢ.

Erklärung

Oft ist eine Wahrscheinlichkeit nicht direkt bekannt, wohl aber für verschiedene Fälle getrennt. Der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit setzt diese Teile zusammen: Man gewichtet die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_{A_i}(B)$ in jedem Fall mit der Wahrscheinlichkeit $P(A_i)$ des Falls und addiert.

Voraussetzung ist eine Zerlegung von $\Omega$ : Die Fälle $A_1, \ldots, A_n$ überschneiden sich nicht, und zusammen decken sie alles ab. Im einfachsten Fall sind es zwei: $A$ und das Gegenereignis $\overline{A}$ :

P(B) = P(A) \cdot P_A(B) + P(\overline{A}) \cdot P_{\overline{A}}(B)

Im Baumdiagramm ist das genau die Pfadmultiplikationsregel entlang jedes Pfads zu $B$ und danach die Pfadadditionsregel über alle diese Pfade.

Das Ergebnis $P(B)$ wird oft als Nenner im Satz von Bayes gebraucht.

Beispiele

Maschine $M_1$ stellt $60\,\%$ der Teile her, davon sind $2\,\%$ fehlerhaft. Maschine $M_2$ stellt $40\,\%$ her, davon sind $5\,\%$ fehlerhaft. Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewähltes Teil fehlerhaft ist ( $F$ ):

P(F) = 0{,}6 \cdot 0{,}02 + 0{,}4 \cdot 0{,}05 = 0{,}012 + 0{,}02 = 0{,}032

Mit Bayes folgt daraus z.B., dass ein fehlerhaftes Teil mit $\frac{0{,}4 \cdot 0{,}05}{0{,}032} = \frac{0{,}02}{0{,}032} = 0{,}625$ von $M_2$ stammt.

Ein Händler bezieht Ware von drei Lieferanten zu $50\,\%$ , $30\,\%$ und $20\,\%$ . Deren Fehlerquoten sind $1\,\%$ , $2\,\%$ und $4\,\%$ :

P(F) = 0{,}5 \cdot 0{,}01 + 0{,}3 \cdot 0{,}02 + 0{,}2 \cdot 0{,}04 = 0{,}019

Typische Fehler

Die Fehlerquoten einfach mitteln. $\frac{0{,}02 + 0{,}05}{2} = 0{,}035$ ist falsch, weil $M_1$ mehr produziert und deshalb stärker zählt.
Fälle verwenden, die sich überschneiden oder nicht alles abdecken. Die $P(A_i)$ müssen zusammen $1$ ergeben (hier $0{,}5 + 0{,}3 + 0{,}2 = 1$ ).
$P_{A_i}(B)$ und $P_B(A_i)$ vertauschen. Gegeben ist meist die Fehlerquote einer Maschine, also $P_{M_1}(F)$ , nicht der Anteil von $M_1$ an den fehlerhaften Teilen.

Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit