Binomialverteilung

Oberstufe

P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}

Voraussetzung: $X$ $Trefferzahl einer$ $Bernoulli-Kette$ $,$ $n \geq 1,$ $0 \leq p \leq 1,$ $k \in \{0, 1, \ldots, n\}$

$X$: Zufallsgröße, die Anzahl der Treffer in der Bernoulli-Kette
$n$: Länge der Bernoulli-Kette, also Anzahl der Durchführungen
$k$: Anzahl der Treffer, deren Wahrscheinlichkeit gesucht ist
$p$: Trefferwahrscheinlichkeit bei jeder einzelnen Durchführung
$1-p$: Wahrscheinlichkeit für eine Niete bei jeder Durchführung
$\binom{n}{k}$: Binomialkoeffizient, Anzahl der Pfade mit genau k Treffern

Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer bei n unabhängigen Versuchen mit Trefferwahrscheinlichkeit p.

Erklärung

Eine Bernoulli-Kette der Länge $n$ besteht aus $n$ gleichen Versuchen mit nur zwei Ausgängen, Treffer oder Niete. Die Versuche müssen voneinander unabhängig sein, und die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ muss bei jedem Versuch gleich bleiben. Die Anzahl $X$ der Treffer heißt dann binomialverteilt mit den Parametern $n$ und $p$ .

Die Formel setzt sich aus zwei Teilen zusammen:

Jeder einzelne Pfad mit $k$ Treffern und $n - k$ Nieten hat nach der Pfadmultiplikationsregel die Wahrscheinlichkeit $p^k \cdot (1-p)^{n-k}$ .
Es gibt $\binom{n}{k}$ solche Pfade. Nach der Pfadadditionsregel werden sie addiert.

Für „höchstens“ und „mindestens“ addiert man mehrere Werte (kumulierte Wahrscheinlichkeit) oder nutzt die Gegenwahrscheinlichkeit. Ziehen ohne Zurücklegen ist keine Bernoulli-Kette, weil sich $p$ von Zug zu Zug ändert.

Für $p = 0$ oder $p = 1$ wird $0^0 = 1$ gesetzt.

Beispiele

Eine faire Münze wird $10$ -mal geworfen, Treffer ist „Kopf“, also $n = 10$ , $p = 0{,}5$ . Genau $5$ -mal Kopf:

P(X = 5) = \binom{10}{5} \cdot 0{,}5^5 \cdot 0{,}5^5 = \frac{252}{1024} \approx 0{,}2461 = 24{,}6\,\%

Ein Test hat $8$ Fragen mit je $4$ Antworten, von denen genau eine richtig ist. Wer nur rät, hat $n = 8$ und $p = 0{,}25$ . Genau $3$ richtige Antworten:

P(X = 3) = \binom{8}{3} \cdot 0{,}25^3 \cdot 0{,}75^5 = 56 \cdot 0{,}25^3 \cdot 0{,}75^5 \approx 0{,}2076

Höchstens eine richtige Antwort:

P(X \leq 1) = 0{,}75^8 + 8 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75^7 \approx 0{,}1001 + 0{,}2670 = 0{,}3671

Mindestens zwei richtige Antworten hat man also mit einer Wahrscheinlichkeit von $1 - P(X \leq 1) \approx 63{,}3\,\%$ .

Typische Fehler

$p$ und $1 - p$ vertauschen. Mit $\binom{8}{3} \cdot 0{,}75^3 \cdot 0{,}25^5 \approx 0{,}0231$ berechnet man $P(X = 5)$ , nicht $P(X = 3)$ . Der Exponent von $p$ ist immer die Trefferzahl $k$ .
Den Binomialkoeffizienten vergessen. $0{,}25^3 \cdot 0{,}75^5$ ist nur die Wahrscheinlichkeit eines Pfades.
„Mindestens“ oder „höchstens“ wie „genau“ rechnen. $P(X \leq 1)$ enthält $P(X = 0)$ und $P(X = 1)$ .
Die Formel verwenden, obwohl keine Bernoulli-Kette vorliegt, z.B. beim Ziehen ohne Zurücklegen aus einer kleinen Urne.

Binomialverteilung