Mindestens-einmal-Aufgabe

Oberstufe

1 - (1-p)^n \geq P_{\min} \iff n \geq \frac{\ln(1 - P_{\min})}{\ln(1-p)}

Voraussetzung: $0 < p < 1,$ $0 < P_{\min} < 1,$ $n \in \mathbb{N}$

$p$: Trefferwahrscheinlichkeit bei jedem einzelnen Versuch
$n$: Anzahl der Versuche, gesucht ist die kleinste passende
$P_{\min}$: geforderte Mindestwahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer
$(1-p)^n$: Wahrscheinlichkeit, in n Versuchen keinen einzigen Treffer zu haben

Wie viele Versuche braucht man, um mit einer Mindestwahrscheinlichkeit wenigstens einen Treffer zu erzielen?

Erklärung

Typische Frage: „Wie oft muss man mindestens würfeln, um mit mindestens $90\,\%$ Wahrscheinlichkeit wenigstens eine Sechs zu bekommen?“ Gesucht ist die kleinste Anzahl $n$ von Versuchen.

Man rechnet über das Gegenereignis: „mindestens ein Treffer“ ist das Gegenteil von „kein Treffer“. Bei $n$ unabhängigen Versuchen hat „kein Treffer“ die Wahrscheinlichkeit $(1-p)^n$ . Daraus folgt die Ungleichung

1 - (1-p)^n \geq P_{\min} \iff (1-p)^n \leq 1 - P_{\min}

Nun logarithmiert man beide Seiten und teilt durch $\ln(1-p)$ . Weil $0 < 1-p < 1$ ist, ist dieser Logarithmus negativ, und das Ungleichheitszeichen dreht sich um. Das Ergebnis rundet man immer auf die nächste ganze Zahl.

Die Versuche müssen unabhängig sein und dieselbe Trefferwahrscheinlichkeit haben (Bernoulli-Kette).

Beispiele

Mindestens eine Sechs mit mindestens $90\,\%$ , also $p = \frac{1}{6}$ und $P_{\min} = 0{,}9$ :

n \geq \frac{\ln(0{,}1)}{\ln\left(\frac{5}{6}\right)} \approx 12{,}63

Man muss also mindestens $13$ -mal würfeln. Probe: $1 - \left(\frac{5}{6}\right)^{13} \approx 0{,}9065$ , aber $1 - \left(\frac{5}{6}\right)^{12} \approx 0{,}8878$ reicht nicht.

Ein Los gewinnt mit $5\,\%$ . Wie viele Lose braucht man, um mit mindestens $99\,\%$ wenigstens einmal zu gewinnen?

n \geq \frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}95)} \approx 89{,}78

Es sind $90$ Lose nötig: $1 - 0{,}95^{90} \approx 0{,}9901$ , bei $89$ Losen nur $0{,}9896$ .

Typische Fehler

Beim Teilen durch $\ln(1-p)$ das Ungleichheitszeichen nicht umdrehen. Dann erhält man $n \leq \ldots$ , was keinen Sinn ergibt.
Kaufmännisch runden. Bei $12{,}63$ ergibt das zufällig $13$ , bei $12{,}1$ aber $12$ , und das reicht nicht. Es wird immer aufgerundet, hier also auf $13$ .
Mit $p^n$ statt $(1-p)^n$ rechnen. $p^n$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass jeder Versuch ein Treffer ist.
Die Wahrscheinlichkeiten addieren: $13 \cdot \frac{1}{6}$ ist größer als $1$ und keine Wahrscheinlichkeit.

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