Verschiebungssatz

Studium

V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2

Voraussetzung: $E(X^2) < \infty$

$V(X)$: Varianz der Zufallsgröße X, auch Var(X) geschrieben
$E(X^2)$: Erwartungswert des Quadrats von X (zweites Moment)
$E(X)$: Erwartungswert von X

Die Varianz ist der Erwartungswert des Quadrats minus das Quadrat des Erwartungswerts.

Erklärung

Der Verschiebungssatz ist eine Rechenabkürzung für die Varianz: Statt alle Abweichungen vom Erwartungswert zu quadrieren, berechnet man den Erwartungswert von $X^2$ und zieht das Quadrat von $E(X)$ ab.

Herleitung mit der Linearität des Erwartungswerts und $\mu = E(X)$ :

V(X) = E\big[(X - \mu)^2\big] = E(X^2) - 2\mu E(X) + \mu^2 = E(X^2) - \mu^2

Verwandte Formen:

Allgemeiner Bezugspunkt (Steinerscher Satz): $E\big[(X - c)^2\big] = V(X) + \big(E(X) - c\big)^2$ für jedes $c \in \mathbb{R}$ . Die mittlere quadratische Abweichung ist also für $c = E(X)$ am kleinsten.
Empirisch: $\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n\bar{x}^2$ .
Kovarianz: $\operatorname{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)\,E(Y)$ .

Da $V(X) \geq 0$ ist, folgt $E(X^2) \geq \big(E(X)\big)^2$ .

Beispiele

$X$ nimmt die Werte $0$ , $1$ , $2$ mit den Wahrscheinlichkeiten $0{,}2$ , $0{,}5$ , $0{,}3$ an:

E(X) = 0 \cdot 0{,}2 + 1 \cdot 0{,}5 + 2 \cdot 0{,}3 = 1{,}1

E(X^2) = 0 \cdot 0{,}2 + 1 \cdot 0{,}5 + 4 \cdot 0{,}3 = 1{,}7

V(X) = 1{,}7 - 1{,}1^2 = 0{,}49

Die Definition $\sum (x_i - \mu)^2 \cdot P(X = x_i)$ liefert ebenfalls $0{,}49$ .

Empirisch für die Messwerte $4$ , $7$ , $10$ mit $\bar{x} = 7$ : $\sum x_i^2 = 165$ , also $\sum (x_i - \bar{x})^2 = 165 - 3 \cdot 49 = 18$ und die korrigierte Stichprobenvarianz $\frac{18}{2} = 9$ .

Typische Fehler

$E(X^2)$ mit $\big(E(X)\big)^2$ verwechseln. Im Beispiel ist $E(X^2) = 1{,}7$ , aber $\big(E(X)\big)^2 = 1{,}21$ .
Beim empirischen Verschiebungssatz $n\bar{x}^2$ durch $\bar{x}^2$ ersetzen.
Mit stark gerundeten Zwischenwerten rechnen. Liegen die Werte weit von $0$ entfernt, ziehen sich zwei große, fast gleiche Zahlen voneinander ab (Auslöschung). Dann besser mit der Definition rechnen.

Verschiebungssatz