Kumulierte Binomialverteilung

Oberstufe

P(X \leq k) = \sum_{j=0}^{k} \binom{n}{j} \cdot p^j \cdot (1-p)^{n-j}

Voraussetzung: $X$ $binomialverteilt mit$ $n$ $und$ $p,$ $k \in \{0, 1, \ldots, n\}$

$P(X \leq k)$: Wahrscheinlichkeit für höchstens k Treffer
$n$: Länge der Bernoulli-Kette
$p$: Trefferwahrscheinlichkeit bei jedem Versuch
$k$: obere Grenze für die Trefferzahl
$j$: Laufindex, die einzelnen Trefferzahlen von 0 bis k

Die Wahrscheinlichkeit für höchstens k Treffer ist die Summe der Binomialwahrscheinlichkeiten für 0 bis k Treffer.

Erklärung

Die kumulierte Binomialverteilung $F(k) = P(X \leq k)$ fasst die Wahrscheinlichkeiten für $0, 1, \ldots, k$ Treffer zusammen. Man braucht sie bei Fragen mit „höchstens“, „mindestens“, „weniger als“ oder „zwischen“. Werte stehen in Tabellen oder kommen aus dem Taschenrechner (oft binomcdf).

Weil Tabellen und Rechner meist nur $P(X \leq k)$ liefern, übersetzt man jede Frage in diese Form:

Frage	Umformung
höchstens $k$	$P(X \leq k)$
weniger als $k$	$P(X \leq k-1)$
mindestens $k$	$1 - P(X \leq k-1)$
mehr als $k$	$1 - P(X \leq k)$
zwischen $a$ und $b$	$P(X \leq b) - P(X \leq a-1)$

„Zwischen“ ist dabei einschließlich der Grenzen gemeint. Voraussetzung ist wie bei der Binomialverteilung eine Bernoulli-Kette mit festem $p$ .

Beispiele

$X$ sei binomialverteilt mit $n = 20$ und $p = 0{,}3$ , z.B. die Anzahl der Treffer bei $20$ Würfen mit Trefferquote $30\,\%$ .

Höchstens $4$ Treffer:

P(X \leq 4) \approx 0{,}2375

Mindestens $8$ Treffer:

P(X \geq 8) = 1 - P(X \leq 7) \approx 1 - 0{,}7723 = 0{,}2277

Zwischen $3$ und $7$ Treffern:

P(3 \leq X \leq 7) = P(X \leq 7) - P(X \leq 2) \approx 0{,}7723 - 0{,}0355 = 0{,}7368

Typische Fehler

Bei „mindestens $8$ “ mit $1 - P(X \leq 8) \approx 0{,}1133$ rechnen. Damit fehlt der Wert $X = 8$ ; richtig ist $1 - P(X \leq 7)$ .
Bei „zwischen $3$ und $7$ “ $P(X \leq 3)$ abziehen. Dann fehlt $X = 3$ ; abgezogen wird $P(X \leq 2)$ .
„Weniger als“ und „höchstens“ gleich behandeln. $P(X < 5) = P(X \leq 4)$ .
Kumulierte und einzelne Werte verwechseln: $P(X \leq 4)$ ist nicht $P(X = 4)$ .

Kumulierte Binomialverteilung