Varianz einer Zufallsgröße

Oberstufe

V(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 \cdot P(X = x_i)

Voraussetzung: $X$ $nimmt genau die verschiedenen Werte$ $x_1, \ldots,$ $x_n$ $an$ $,$ $\mu = E(X)$

$V(X)$: Varianz der Zufallsgröße X, auch Var(X) oder σ² geschrieben
$X$: Zufallsgröße
$x_i$: die möglichen Werte von X
$P(X = x_i)$: Wahrscheinlichkeit, dass X den Wert x_i annimmt
$\mu$: Erwartungswert E(X)
$n$: Anzahl der möglichen Werte
$i$: Laufindex von 1 bis n

Die Varianz ist die mit den Wahrscheinlichkeiten gewichtete Summe der quadrierten Abweichungen vom Erwartungswert.

Erklärung

Der Erwartungswert $\mu = E(X)$ sagt, wo eine Zufallsgröße im Mittel liegt. Die Varianz $V(X)$ misst, wie stark die Werte um $\mu$ streuen. Für jeden Wert $x_i$ quadriert man die Abweichung $x_i - \mu$ und gewichtet sie mit ihrer Wahrscheinlichkeit.

Sie ist das Gegenstück zur empirischen Varianz von Messdaten: Statt relativer Häufigkeiten stehen hier Wahrscheinlichkeiten.

Die Standardabweichung ist $\sigma = \sqrt{V(X)}$ . Sie hat dieselbe Einheit wie $X$ und ist deshalb anschaulicher.

Oft schneller ist der Verschiebungssatz:

V(X) = E(X^2) - \mu^2 = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \cdot P(X = x_i) - \mu^2

Beispiele

Augenzahl $X$ eines fairen Würfels, $\mu = 3{,}5$ :

V(X) = \frac{(1 - 3{,}5)^2 + (2 - 3{,}5)^2 + \ldots + (6 - 3{,}5)^2}{6} = \frac{35}{12} \approx 2{,}92

Mit dem Verschiebungssatz: $E(X^2) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6}$ , also $V(X) = \frac{91}{6} - 3{,}5^2 = \frac{35}{12}$ .

Ein Spiel zahlt $0$ € mit Wahrscheinlichkeit $0{,}5$ , $2$ € mit $0{,}3$ und $5$ € mit $0{,}2$ . Erwartungswert: $\mu = 0 \cdot 0{,}5 + 2 \cdot 0{,}3 + 5 \cdot 0{,}2 = 1{,}6$ . Varianz:

V(X) = (0 - 1{,}6)^2 \cdot 0{,}5 + (2 - 1{,}6)^2 \cdot 0{,}3 + (5 - 1{,}6)^2 \cdot 0{,}2 = 3{,}64

Probe mit dem Verschiebungssatz: $E(X^2) = 0 \cdot 0{,}5 + 4 \cdot 0{,}3 + 25 \cdot 0{,}2 = 6{,}2$ und $6{,}2 - 1{,}6^2 = 3{,}64$ . Die Standardabweichung ist $\sigma = \sqrt{3{,}64} \approx 1{,}91$ €.

Typische Fehler

Die Abweichungen nicht mit den Wahrscheinlichkeiten gewichten, sondern einfach mitteln. Das geht nur, wenn alle Werte gleich wahrscheinlich sind, wie beim Würfel.
Beim Verschiebungssatz $\mu$ statt $\mu^2$ abziehen. $6{,}2 - 1{,}6 = 4{,}6$ ist falsch.
$E(X^2)$ und $(E(X))^2$ verwechseln. $E(X^2)$ ist der Erwartungswert der quadrierten Werte.
Varianz und Standardabweichung verwechseln. Die Varianz hat die quadrierte Einheit, hier €², und ist deshalb nicht direkt mit den Werten vergleichbar.

Varianz einer Zufallsgröße