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t-Verteilung

t-Verteilung

Studium
fν(t)=Γ(ν+12)νπ Γ(ν2)(1+t2ν)−ν+12f_\nu(t) = \frac{\Gamma\left(\frac{\nu + 1}{2}\right)}{\sqrt{\nu\pi}\ \Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)} \left(1 + \frac{t^2}{\nu}\right)^{-\frac{\nu + 1}{2}}

Voraussetzung: ν>0 (meist ν∈N),\nu > 0\ (\text{meist } \nu \in \mathbb{N}), t∈Rt \in \mathbb{R}

fν(t)f_\nu(t)
Wert der Dichtefunktion an der Stelle t
tt
beliebige reelle Zahl, ein möglicher Wert der Zufallsgröße
ν\nu
Anzahl der Freiheitsgrade
Γ\Gamma
Gammafunktion, für natürliche Zahlen gilt Γ(n) = (n − 1)!
π\pi
Kreiszahl, etwa 3,14159

Die t-Verteilung mit ν Freiheitsgraden ist symmetrisch um 0, hat breitere Ränder als die Normalverteilung und dient zum Schätzen und Testen bei unbekanntem σ.

Erklärung

Sind X1,…,XnX_1, \ldots, X_n unabhängig und N(μ,σ2)N(\mu, \sigma^2)-verteilt, dann ist die mit der geschätzten Standardabweichung SS standardisierte Größe

T=Xˉ−μS/nT = \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}

t-verteilt mit ν=n−1\nu = n - 1 Freiheitsgraden. Weil SS selbst zufällig schwankt, streut TT stärker als eine standardnormalverteilte Größe. Deshalb hat die t-Verteilung breitere Ränder als die Glockenkurve. Für ν→∞\nu \to \infty konvergiert sie gegen die Standardnormalverteilung.

Eigenschaften:

  • symmetrisch um 00, also E(T)=0E(T) = 0 für ν>1\nu > 1
  • V(T)=νν−2V(T) = \frac{\nu}{\nu - 2} für ν>2\nu > 2, also größer als 11
  • für ν=1\nu = 1 entsteht die Cauchy-Verteilung, die keinen Erwartungswert hat

Die Dichte selbst braucht man selten. Wichtig sind die Quantile tν; qt_{\nu;\,q} mit P(T≤tν; q)=qP(T \leq t_{\nu;\,q}) = q, die man einer Tabelle oder Software entnimmt:

ν\nutν; 0,95t_{\nu;\,0{,}95}tν; 0,975t_{\nu;\,0{,}975}
42,1322,776
91,8332,262
151,7532,131
291,6992,045
∞1,6451,960

Beispiele

Bei einer Stichprobe vom Umfang n=10n = 10 hat die Testgröße ν=9\nu = 9 Freiheitsgrade. Das zweiseitige 95 %95\,\%-Quantil ist t9; 0,975=2,262t_{9;\,0{,}975} = 2{,}262, d.h.

P(−2,262≤T≤2,262)≈0,95P(-2{,}262 \leq T \leq 2{,}262) \approx 0{,}95

Zum Vergleich: Bei der Standardnormalverteilung reicht dafür 1,961{,}96. Einseitig gilt P(T≤1,833)≈0,95P(T \leq 1{,}833) \approx 0{,}95.

Die Varianz für ν=9\nu = 9 ist 99−2≈1,29\frac{9}{9 - 2} \approx 1{,}29, also deutlich größer als 11.

Typische Fehler

  • Die falsche Zahl der Freiheitsgrade verwenden. Beim Einstichproben-Fall ist ν=n−1\nu = n - 1, nicht nn.
  • Bei unbekanntem σ\sigma und kleinem nn mit Normalverteilungsquantilen rechnen. Das macht Konfidenzintervalle zu schmal und Tests zu oft signifikant.
  • Ein- und zweiseitige Quantile verwechseln. Für ein zweiseitiges Niveau α=5 %\alpha = 5\,\% braucht man tν; 0,975t_{\nu;\,0{,}975}, nicht tν; 0,95t_{\nu;\,0{,}95}.
  • Vergessen, dass die t-Verteilung normalverteilte Daten voraussetzt. Bei kleinen, stark schiefen Stichproben ist sie nur grob gültig.

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