Konfidenzintervall für den Erwartungswert

Studium

\left[\, \bar{x} - t_{n-1;\,1-\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \,;\ \bar{x} + t_{n-1;\,1-\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \,\right]

Voraussetzung: $X_1, \ldots, X_n$ $unabhängig$ $,$ $N(\mu, \sigma^2)$ $-verteilt$ $mit unbekanntem$ $\sigma,$ $n \geq 2,$ $0 < \alpha < 1$

$\bar{x}$: arithmetisches Mittel der Stichprobe
$s$: korrigierte Standardabweichung der Stichprobe (mit n − 1 im Nenner)
$n$: Stichprobenumfang
$t_{n-1;\,1-\frac{\alpha}{2}}$: Quantil der t-Verteilung mit n − 1 Freiheitsgraden
$\alpha$: Irrtumswahrscheinlichkeit, 1 − α ist das Konfidenzniveau

Intervall um den Stichprobenmittelwert, das den unbekannten Erwartungswert μ mit Wahrscheinlichkeit 1 − α überdeckt.

Erklärung

Aus einer Stichprobe $x_1, \ldots, x_n$ soll der unbekannte Erwartungswert $\mu$ geschätzt werden. Statt nur den Punktschätzer $\bar{x}$ anzugeben, konstruiert man ein Intervall, das $\mu$ mit vorgegebener Sicherheit $1 - \alpha$ (Konfidenzniveau) überdeckt.

Grundlage ist, dass $T = \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}$ bei normalverteilten Daten t-verteilt mit $n - 1$ Freiheitsgraden ist. Aus $P\big(|T| \leq t_{n-1;\,1-\alpha/2}\big) = 1 - \alpha$ folgt das Intervall durch Auflösen nach $\mu$ .

Varianten:

$\sigma$ bekannt: Man ersetzt $s$ durch $\sigma$ und das t-Quantil durch das Normalverteilungsquantil $z_{1-\alpha/2}$ (z.B. $1{,}96$ für $95\,\%$ ).
Daten nicht normalverteilt, $n$ groß (Faustregel $n \geq 30$ ): Nach dem zentralen Grenzwertsatz gilt das Intervall näherungsweise.

Die Breite des Intervalls schrumpft mit $\frac{1}{\sqrt{n}}$ und wächst mit dem Konfidenzniveau.

Beispiele

Eine Abfüllanlage wird geprüft: $n = 10$ Packungen, Mittelwert $\bar{x} = 502\,\text{g}$ , Standardabweichung $s = 4\,\text{g}$ . Für $95\,\%$ ist $t_{9;\,0{,}975} = 2{,}262$ :

2{,}262 \cdot \frac{4}{\sqrt{10}} \approx 2{,}86

[\,502 - 2{,}86;\ 502 + 2{,}86\,] \approx [\,499{,}14;\ 504{,}86\,]\ \text{g}

Wäre $\sigma = 4\,\text{g}$ bekannt, betrüge der Radius nur $1{,}96 \cdot \frac{4}{\sqrt{10}} \approx 2{,}48$ .

Bei $n = 30$ Prüfungsergebnissen mit $\bar{x} = 85$ und $s = 12$ ist $t_{29;\,0{,}975} = 2{,}045$ , der Radius $2{,}045 \cdot \frac{12}{\sqrt{30}} \approx 4{,}48$ und das Intervall $[\,80{,}52;\ 89{,}48\,]$ .

Typische Fehler

Das Konfidenzniveau als Wahrscheinlichkeit für $\mu$ deuten. Zufällig ist das Intervall, nicht $\mu$ : Das Verfahren liefert in $95\,\%$ aller Stichproben ein Intervall, das $\mu$ enthält.
Bei unbekanntem $\sigma$ und kleinem $n$ das Normalverteilungsquantil $1{,}96$ nehmen. Das Intervall wird zu schmal.
$s$ statt $\frac{s}{\sqrt{n}}$ verwenden. Dann beschreibt man die Streuung einzelner Werte, nicht die des Mittelwerts.
Die unkorrigierte Standardabweichung (Nenner $n$ ) einsetzen. Das t-Intervall setzt die korrigierte Version mit $n - 1$ voraus.

Konfidenzintervall für den Erwartungswert