Satz von Bayes

Erklärung

Oft kennt man $P_A(B)$, möchte aber $P_B(A)$ wissen. Beispiel: Man weiß, wie zuverlässig ein Test eine Eigenschaft erkennt, und fragt, wie wahrscheinlich die Eigenschaft bei einem positiven Test tatsächlich vorliegt. Der Satz von Bayes dreht die Bedingung um.

Er folgt direkt aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit, denn $P(A \cap B) = P(A) \cdot P_A(B)$:

Den Nenner $P(B)$ kennt man meist nicht direkt. Man berechnet ihn mit der Pfadadditionsregel aus beiden Ästen des Baumdiagramms (Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit):

Beide Voraussetzungen sind nötig: $P(A) > 0$, damit $P_A(B)$ definiert ist, und $P(B) > 0$, damit man durch $P(B)$ teilen darf. Für die Zerlegung von $P(B)$ braucht man zusätzlich $0 < P(A) < 1$, damit auch $P_{\overline{A}}(B)$ definiert ist.

Beispiele

Spamfilter: 20 % aller E-Mails sind Spam ($A$). Der Filter markiert Spam mit Wahrscheinlichkeit $0{,}95$, normale Mails markiert er irrtümlich mit $0{,}02$. $B$ ist „Mail wird markiert“.

Seltene Eigenschaft: In einer Produktion ist 1 % der Teile defekt ($A$). Ein Prüfgerät schlägt bei defekten Teilen mit $0{,}98$ Alarm ($B$), bei intakten Teilen fälschlich mit $0{,}03$.

Nur etwa jedes vierte Teil mit Alarm ist also wirklich defekt. Mit Häufigkeiten wird das anschaulich: Von $10\,000$ Teilen sind $100$ defekt, davon lösen $98$ Alarm aus. Von den $9900$ intakten Teilen lösen $297$ Alarm aus. Unter allen $98 + 297 = 395$ Alarmen sind nur $98$ echte.

Typische Fehler

• $P_B(A)$ mit $P_A(B)$ gleichsetzen. Im zweiten Beispiel ist $P_A(B) = 98\,\%$, aber $P_B(A)$ nur etwa $24{,}8\,\%$.
• Im Nenner nur den Pfad über $A$ nehmen und die Fehlalarme (Pfad über $\overline{A}$) vergessen. Dann käme $1$ heraus.
• Die Grundwahrscheinlichkeit $P(A)$ ignorieren. Ist $A$ selten, sind auch bei einem guten Test viele Alarme falsch.
• $P_{\overline{A}}(B)$ nicht einfach als $1 - P_A(B)$ ansetzen: Die Fehlalarmquote $0{,}03$ ist nicht $1 - 0{,}98 = 0{,}02$. Beide Werte sind unabhängig voneinander gegeben.