Poisson-Verteilung

Studium

P(X = k) = \frac{\lambda^k}{k!} \, e^{-\lambda}

Voraussetzung: $\lambda > 0,$ $k \in \mathbb{N}_0$

$X$: Anzahl der Ereignisse in einem festen Zeitraum oder Bereich
$k$: Anzahl, deren Wahrscheinlichkeit gesucht ist
$\lambda$: mittlere Anzahl der Ereignisse, zugleich Erwartungswert und Varianz
$e$: Eulersche Zahl, etwa 2,718

Wahrscheinlichkeit für genau k Ereignisse, wenn im Mittel λ unabhängige Ereignisse pro Zeitraum auftreten.

Erklärung

Die Poisson-Verteilung beschreibt, wie oft ein Ereignis in einem festen Zeitraum (oder auf einer Fläche, in einem Volumen) eintritt, wenn

die Ereignisse unabhängig voneinander auftreten,
die mittlere Rate konstant ist und
zwei Ereignisse nicht exakt gleichzeitig eintreten.

Typisch sind Anrufe pro Stunde, Tippfehler pro Seite oder radioaktive Zerfälle pro Sekunde. Einziger Parameter ist $\lambda$ , die mittlere Anzahl. Mit der Varianz $V(X)$ (auch $\operatorname{Var}(X)$ geschrieben) gilt

E(X) = V(X) = \lambda

Die Poisson-Verteilung ist der Grenzfall der Binomialverteilung für $n \to \infty$ und $p \to 0$ mit festem $n \cdot p = \lambda$ . Daher eignet sie sich als Näherung, wenn $n$ groß und $p$ klein ist (Faustregel: $n \geq 50$ , $p \leq 0{,}1$ ).

Für die Rechnung ist die Rekursion praktisch: $P(X = k+1) = P(X = k) \cdot \frac{\lambda}{k+1}$ .

Beispiele

Bei einer Hotline gehen im Mittel $3$ Anrufe pro Minute ein, $\lambda = 3$ . Genau $2$ Anrufe in einer Minute:

P(X = 2) = \frac{3^2}{2!} \, e^{-3} = 4{,}5 \cdot e^{-3} \approx 0{,}2240

Kein Anruf: $P(X = 0) = e^{-3} \approx 0{,}0498$ . Mindestens $3$ Anrufe:

P(X \geq 3) = 1 - e^{-3}\left(1 + 3 + 4{,}5\right) \approx 0{,}5768

Näherung der Binomialverteilung: Ein Bauteil ist mit $p = 0{,}002$ defekt, eine Lieferung hat $n = 1000$ Teile, also $\lambda = 1000 \cdot 0{,}002 = 2$ . Genau ein defektes Teil:

P(X = 1) \approx 2 \cdot e^{-2} \approx 0{,}2707

Die exakte Binomialrechnung $1000 \cdot 0{,}002 \cdot 0{,}998^{999}$ ergibt auf vier Stellen ebenfalls $0{,}2707$ .

Typische Fehler

$\lambda$ nicht an den Zeitraum anpassen. Sind es $3$ Anrufe pro Minute, ist für $2$ Minuten $\lambda = 6$ .
Die Fakultät im Nenner vergessen.
Bei „mindestens“ den Fall $k = 0$ in der Gegenwahrscheinlichkeit vergessen. $P(X \geq 3) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) - P(X = 2)$ .
Die Poisson-Näherung bei großem $p$ verwenden. Für $p = 0{,}3$ ist sie deutlich ungenau.

Poisson-Verteilung