Arithmetisches Mittel

Unterstufe

\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}

Voraussetzung: $n \geq 1$

$\bar{x}$: arithmetisches Mittel, gesprochen „x quer“
$x_1, x_2, \ldots, x_n$: die einzelnen Werte, z.B. Messwerte oder Noten
$n$: Anzahl der Werte

Der Mittelwert ist die Summe aller Werte geteilt durch die Anzahl der Werte.

Erklärung

Das arithmetische Mittel ist das, was man im Alltag den Durchschnitt nennt. Man rechnet so:

Alle Werte zusammenzählen.
Die Summe durch die Anzahl der Werte teilen.

Der Mittelwert liegt immer zwischen dem kleinsten und dem größten Wert. Er muss selbst keiner der Werte sein und muss auch keine ganze Zahl sein.

Beispiele

Mia springt beim Weitsprung fünfmal: 3,40 m, 3,85 m, 3,60 m, 3,15 m und 3,70 m.

\bar{x} = \frac{3{,}40 + 3{,}85 + 3{,}60 + 3{,}15 + 3{,}70}{5}\,\text{m} = \frac{17{,}70}{5}\,\text{m} = 3{,}54\,\text{m}

Ein fehlender Wert: Nach vier Tests hat Jonas einen Schnitt von 2,5. Welche Note braucht er im fünften Test für einen Schnitt von 2,4? Die fünf Noten müssen zusammen $5 \cdot 2{,}4 = 12$ ergeben. Die ersten vier ergeben $4 \cdot 2{,}5 = 10$ . Also braucht er eine $12 - 10 = 2$ .

Typische Fehler

Werte mit $0$ weglassen: Ein Kiosk verkauft an vier Tagen $12$ , $0$ , $9$ und $15$ Brezeln. Der Durchschnitt ist $\frac{36}{4} = 9$ , nicht $\frac{36}{3} = 12$ . Die $0$ zählt mit.
Durch die falsche Anzahl teilen, z.B. durch die Zahl der verschiedenen Werte statt durch die Zahl aller Werte. Kommt ein Wert doppelt vor, wird er auch doppelt gezählt.
Den Durchschnitt aus zwei Durchschnitten bilden, obwohl die Gruppen verschieden groß sind. Dann erst die Summen zusammenzählen und durch die Gesamtzahl teilen.

Arithmetisches Mittel