Geometrisches Mittel

Mittelstufe

\bar{x}_{\text{geo}} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n}

Voraussetzung: $x_1, \ldots, x_n > 0,$ $n \geq 1$

$\bar{x}_{\text{geo}}$: geometrisches Mittel der Werte
$x_1, \ldots, x_n$: die Werte, häufig Wachstumsfaktoren wie 1,1 für plus 10 %
$n$: Anzahl der Werte

Das geometrische Mittel ist die n-te Wurzel aus dem Produkt von n positiven Werten, z.B. mittlerer Wachstumsfaktor.

Erklärung

Das geometrische Mittel von $n$ positiven Zahlen erhält man, indem man alle Zahlen multipliziert und aus dem Produkt die $n$ -te Wurzel zieht. Bei zwei Zahlen ist das die gewöhnliche Quadratwurzel: $\sqrt{x_1 \cdot x_2}$ .

Man braucht es vor allem bei Wachstum, wenn sich eine Größe von Jahr zu Jahr um unterschiedliche Prozentsätze ändert. Dann werden die Wachstumsfaktoren gemittelt, nicht die Prozentsätze:

Zunahme um $10\,\%$ ergibt den Faktor $1{,}1$ .
Abnahme um $20\,\%$ ergibt den Faktor $0{,}8$ .

Das geometrische Mittel ist der Faktor, der, jedes Jahr gleich angewendet, zum selben Endwert führt.

Alle Werte müssen positiv sein. Bei Zahlen, die nicht alle gleich sind, ist das geometrische Mittel immer kleiner als das arithmetische Mittel.

Beispiele

Für $2$ und $8$ :

\bar{x}_{\text{geo}} = \sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16} = 4

Das arithmetische Mittel wäre $\frac{2 + 8}{2} = 5$ .

Für die drei Zahlen $4$ , $6$ und $9$ ist das Produkt $216$ :

\bar{x}_{\text{geo}} = \sqrt[3]{4 \cdot 6 \cdot 9} = \sqrt[3]{216} = 6

Eine Aktie verliert im ersten Jahr $20\,\%$ und gewinnt im zweiten Jahr $25\,\%$ . Die Faktoren sind $0{,}8$ und $1{,}25$ :

\bar{x}_{\text{geo}} = \sqrt{0{,}8 \cdot 1{,}25} = \sqrt{1} = 1

Im Mittel hat sich der Wert also gar nicht verändert. Tatsächlich: Aus $200$ € werden $200 \cdot 0{,}8 \cdot 1{,}25 = 200$ €.

Typische Fehler

Prozentsätze arithmetisch mitteln. Im Aktienbeispiel ergäbe $\frac{-20 + 25}{2} = 2{,}5$ ein Plus von $2{,}5\,\%$ pro Jahr. Damit würden aus $200$ € aber $200 \cdot 1{,}025 \cdot 1{,}025 = 210{,}125$ €, nicht $200$ €.
Die Prozentsätze statt der Faktoren einsetzen, also $\sqrt{20 \cdot 25}$ rechnen. Es müssen die Faktoren $0{,}8$ und $1{,}25$ sein.
Bei drei oder mehr Werten die Quadratwurzel ziehen. Der Wurzelexponent ist immer die Anzahl $n$ der Werte, bei drei Werten also die dritte Wurzel.

Geometrisches Mittel