Stetige Gleichverteilung

Oberstufe

f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & a \leq x \leq b \\ 0 & \text{sonst} \end{cases}

Voraussetzung: $a < b$

$f(x)$: Dichtefunktion der Zufallsgröße X
$a,\ b$: linke und rechte Grenze des Intervalls, in dem X liegt
$x$: beliebige reelle Zahl

Bei der stetigen Gleichverteilung ist die Dichte auf einem Intervall [a; b] konstant, Wahrscheinlichkeiten sind Rechteckflächen.

Erklärung

Eine stetige Zufallsgröße $X$ ist gleichverteilt auf $[a; b]$ , wenn sie nur Werte aus diesem Intervall annimmt und kein Bereich bevorzugt wird. Die Dichte ist dort konstant; ihr Graph ist ein Rechteck. Man spricht deshalb auch von der Rechteckverteilung.

Die Höhe $\frac{1}{b-a}$ sorgt dafür, dass die Fläche unter der Dichte $1$ ist. Für ein Teilintervall $[c; d]$ von $[a; b]$ gilt

P(c \leq X \leq d) = \frac{d - c}{b - a}

Die Wahrscheinlichkeit hängt also nur von der Länge des Teilintervalls ab. Erwartungswert und Varianz:

E(X) = \frac{a + b}{2}, \qquad V(X) = \frac{(b - a)^2}{12}

Beispiele

Ein Bus fährt alle $10$ Minuten. Wer zu einem zufälligen Zeitpunkt an die Haltestelle kommt, wartet eine Zeit $X$ , die auf $[0; 10]$ gleichverteilt ist. Die Dichte ist $f(x) = \frac{1}{10} = 0{,}1$ für $0 \leq x \leq 10$ .

Wartezeit höchstens $3$ Minuten:

P(X \leq 3) = \frac{3 - 0}{10 - 0} = 0{,}3

Wartezeit mehr als $7$ Minuten: $P(X > 7) = \frac{10 - 7}{10} = 0{,}3$ .

Im Mittel wartet man $E(X) = \frac{0 + 10}{2} = 5$ Minuten, die Standardabweichung ist $\sigma = \frac{10}{\sqrt{12}} \approx 2{,}89$ Minuten.

Typische Fehler

Die Dichte $\frac{1}{b-a}$ als Wahrscheinlichkeit lesen. Bei $[0; 0{,}5]$ ist die Dichte $2$ , eine Wahrscheinlichkeit kann das nicht sein.
Bei der Varianz durch $2$ oder $6$ statt durch $12$ teilen, oder das Quadrat vergessen.
Grenzen über das Intervall hinaus einsetzen. Für $d > b$ rechnet man nur bis $b$ .

Stetige Gleichverteilung