Binomialkoeffizient

Erklärung

Der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$, gesprochen „$n$ über $k$“, zählt, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus $n$ verschiedenen Objekten $k$ Stück auszuwählen, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt und kein Objekt doppelt gewählt wird (Ziehen ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge).

Herleitung: Mit Reihenfolge gibt es $n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}$ Möglichkeiten. Jede Auswahl von $k$ Objekten kommt dabei in $k!$ Reihenfolgen vor. Also teilt man noch durch $k!$.

Nützliche Eigenschaften:

• $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$ und $\binom{n}{1} = n$
• Symmetrie: $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$, denn $k$ auswählen heißt $n - k$ weglassen.
• Pascalsches Dreieck: $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$

In der Binomialverteilung gibt $\binom{n}{k}$ an, wie viele Pfade einer Bernoulli-Kette der Länge $n$ genau $k$ Treffer haben.

Beispiele

Aus einer Klasse sollen $3$ von $8$ Interessierten in den Schülerrat:

Lotto „6 aus 49“: Es gibt

mögliche Tipps. Die Wahrscheinlichkeit für sechs Richtige mit einem Tipp ist also $\frac{1}{13\,983\,816}$.

Eine Münze wird viermal geworfen. Genau zweimal Kopf gibt es auf $\binom{4}{2} = 6$ Arten: KKZZ, KZKZ, KZZK, ZKKZ, ZKZK, ZZKK.

Typische Fehler

• $\binom{n}{k}$ verwenden, obwohl die Reihenfolge zählt. Für Gold, Silber und Bronze unter $8$ Teilnehmenden gibt es $8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$ Möglichkeiten, nicht $56$.
• Den Bruch $\frac{n}{k}$ rechnen. $\binom{n}{k}$ ist nicht $n$ geteilt durch $k$: $\binom{8}{3} = 56$, aber $\frac{8}{3} \approx 2{,}67$.
• Auf dem Taschenrechner nPr statt nCr drücken. nPr berechnet die Anzahl mit Reihenfolge.
• $\binom{n}{0} = 0$ annehmen. Es gibt genau eine Möglichkeit, nichts auszuwählen: $\binom{7}{0} = 1$.