Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest

Studium

\chi^2 = \sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{c} \frac{(N_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}, \quad E_{ij} = \frac{N_{i\cdot} \cdot N_{\cdot j}}{n}

Voraussetzung: $E_{ij} \geq 5$ $für alle Zellen (Faustregel)$

$\chi^2$: Wert der Testgröße
$r$: Anzahl der Zeilen (Ausprägungen des ersten Merkmals)
$c$: Anzahl der Spalten (Ausprägungen des zweiten Merkmals)
$N_{ij}$: beobachtete Häufigkeit in Zeile i und Spalte j
$E_{ij}$: erwartete Häufigkeit bei Unabhängigkeit
$N_{i\cdot}$: Summe der Zeile i
$N_{\cdot j}$: Summe der Spalte j
$n$: Gesamtzahl der Beobachtungen

Der Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest prüft anhand einer Kreuztabelle, ob zwei Merkmale unabhängig sind.

Erklärung

Zwei Merkmale (z.B. Altersgruppe und Kaufentscheidung) werden an $n$ Personen erhoben und in einer Kontingenztafel mit $r$ Zeilen und $c$ Spalten ausgezählt. Die Nullhypothese lautet: Die Merkmale sind unabhängig.

Bei Unabhängigkeit ist die Wahrscheinlichkeit einer Zelle das Produkt der Rand-Wahrscheinlichkeiten. Schätzt man diese durch die relativen Randhäufigkeiten, erhält man die erwarteten Häufigkeiten

E_{ij} = n \cdot \frac{N_{i\cdot}}{n} \cdot \frac{N_{\cdot j}}{n} = \frac{N_{i\cdot} \cdot N_{\cdot j}}{n}

Unter $H_0$ ist $\chi^2$ näherungsweise Chi-Quadrat-verteilt mit $(r - 1)(c - 1)$ Freiheitsgraden. $H_0$ wird verworfen, wenn $\chi^2$ das Quantil $\chi^2_{(r-1)(c-1);\,1-\alpha}$ übersteigt (für $\alpha = 5\,\%$ : $3{,}841$ bei einem, $5{,}991$ bei zwei Freiheitsgraden).

Für eine Vierfeldertafel mit den Zellen $a, b$ (erste Zeile) und $c, d$ (zweite Zeile) gibt es eine Kurzformel:

\chi^2 = \frac{n\,(ad - bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

Beispiele

Je $100$ Personen aus Gruppe A und Gruppe B werden gefragt, ob sie ein Produkt kaufen würden:

	ja	nein	Summe
Gruppe A	60	40	100
Gruppe B	45	55	100
Summe	105	95	200

Erwartete Häufigkeiten: $E_{11} = \frac{100 \cdot 105}{200} = 52{,}5$ und $E_{12} = \frac{100 \cdot 95}{200} = 47{,}5$ , in der zweiten Zeile ebenso. Jede Zelle weicht um $7{,}5$ ab:

\chi^2 = 7{,}5^2 \cdot \left(\frac{2}{52{,}5} + \frac{2}{47{,}5}\right) \approx 4{,}51

Die Kurzformel liefert denselben Wert: $\frac{200 \cdot (60 \cdot 55 - 40 \cdot 45)^2}{100 \cdot 100 \cdot 105 \cdot 95} \approx 4{,}51$ .

Mit $(2-1)(2-1) = 1$ Freiheitsgrad ist der kritische Wert $3{,}841$ . Wegen $4{,}51 > 3{,}841$ wird die Unabhängigkeit auf dem $5\,\%$ -Niveau verworfen: Die Kaufbereitschaft hängt von der Gruppe ab.

Typische Fehler

Die erwarteten Häufigkeiten als Gesamtzahl geteilt durch die Zellenzahl berechnen. Sie hängen von den Randsummen ab.
Die Freiheitsgrade als $r \cdot c - 1$ zählen. Richtig ist $(r - 1)(c - 1)$ .
Mit Prozentwerten statt absoluten Häufigkeiten rechnen.
Ein signifikantes Ergebnis als Nachweis einer Ursache deuten. Der Test zeigt nur einen Zusammenhang.

Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest