Verteilungsfunktion

Oberstufe

F(x) = P(X \leq x)

Voraussetzung: $X$ $Zufallsgröße$ $,$ $x \in \mathbb{R}$

$F(x)$: Wert der Verteilungsfunktion an der Stelle x
$X$: Zufallsgröße, diskret oder stetig
$x$: beliebige reelle Zahl

Die Verteilungsfunktion gibt für jede Zahl x an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsgröße höchstens x ist.

Erklärung

Die Verteilungsfunktion $F$ einer Zufallsgröße $X$ ordnet jeder Zahl $x$ die Wahrscheinlichkeit zu, dass $X$ höchstens $x$ ist. Sie fasst die Wahrscheinlichkeiten von links her zusammen.

Bei einer diskreten Zufallsgröße addiert man alle $P(X = x_i)$ mit $x_i \leq x$ . Der Graph ist eine Treppe.
Bei einer stetigen Zufallsgröße mit Dichte $f$ ist $F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,\mathrm{d}t$ . $F$ ist eine Stammfunktion der Dichte, also $F'(x) = f(x)$ .

Jede Verteilungsfunktion ist monoton wachsend, beginnt links bei $0$ und strebt rechts gegen $1$ . Für Intervalle gilt

P(a < X \leq b) = F(b) - F(a)

Bei einer stetigen Zufallsgröße nennt man den Wert $m$ mit $F(m) = 0{,}5$ den Median der Verteilung.

Beispiele

Augenzahl $X$ eines fairen Würfels:

F(2) = P(X \leq 2) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}

Auch $F(2{,}5) = \frac{1}{3}$ , denn zwischen $2$ und $3$ kommt kein Wert dazu. Für $x \geq 6$ ist $F(x) = 1$ .

$X$ habe die Dichte $f(x) = 0{,}5x$ auf $[0; 2]$ (sonst $0$ ). Dann ist für $0 \leq x \leq 2$

F(x) = \int_0^x 0{,}5t\,\mathrm{d}t = \frac{x^2}{4}

Damit ist $F(1) = 0{,}25$ und $F(1{,}5) = 0{,}5625$ , also $P(1 < X \leq 1{,}5) = 0{,}5625 - 0{,}25 = 0{,}3125$ . Der Median folgt aus $\frac{m^2}{4} = 0{,}5$ : $m = \sqrt{2} \approx 1{,}41$ .

Typische Fehler

$F(x)$ mit $f(x)$ verwechseln. $F$ liefert Wahrscheinlichkeiten, $f$ nur Dichtewerte.
Bei diskreten Größen $P(a \leq X \leq b)$ als $F(b) - F(a)$ rechnen. Dabei fehlt $P(X = a)$ ; richtig ist $F(b) - F(a - 1)$ bei ganzzahligen Werten.
Die Verteilungsfunktion außerhalb des Intervalls vergessen: Für $x > 2$ ist im zweiten Beispiel $F(x) = 1$ , nicht $\frac{x^2}{4}$ .

Verteilungsfunktion