Erwartungswert und Varianz der Exponentialverteilung

Studium

E(X) = \frac{1}{\lambda}, \qquad V(X) = \frac{1}{\lambda^2}, \qquad \sigma = \frac{1}{\lambda}

Voraussetzung: $X$ $exponentialverteilt mit Rate$ $\lambda > 0$

$X$: exponentialverteilte Zufallsgröße, z.B. Wartezeit oder Lebensdauer
$E(X)$: Erwartungswert, die mittlere Wartezeit
$V(X)$: Varianz, auch Var(X) geschrieben
$\sigma$: Standardabweichung
$\lambda$: Rate, mittlere Anzahl Ereignisse pro Zeiteinheit

Bei der Exponentialverteilung mit Rate λ sind Erwartungswert und Standardabweichung beide 1/λ, die Varianz ist 1/λ².

Erklärung

Ist $X$ exponentialverteilt mit Dichte $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ für $x \geq 0$ , dann ist die mittlere Wartezeit der Kehrwert der Rate. Erwartungswert und Standardabweichung sind gleich, der Variationskoeffizient $\frac{\sigma}{E(X)}$ ist also immer $1$ .

Herleitung mit partieller Integration:

E(X) = \int_0^\infty x \,\lambda e^{-\lambda x}\,dx = \Big[-x e^{-\lambda x}\Big]_0^\infty + \int_0^\infty e^{-\lambda x}\,dx = \frac{1}{\lambda}

Ebenso ergibt sich $E(X^2) = \frac{2}{\lambda^2}$ . Mit dem Verschiebungssatz:

V(X) = \frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda^2}

Weil die Verteilung rechtsschief ist, liegen deutlich mehr als die Hälfte der Werte unter dem Erwartungswert: $P\big(X \leq E(X)\big) = 1 - e^{-1} \approx 63{,}2\,\%$ , unabhängig von $\lambda$ .

Beispiele

Für $\lambda = 1$ liefert die numerische Integration $E(X) = 1$ und $E(X^2) = 2$ , also $V(X) = 2 - 1 = 1$ .

An einer Supermarktkasse ist die mittlere Bedienzeit $4$ Minuten, also $\lambda = \frac{1}{4} = 0{,}25$ pro Minute. Dann ist

V(X) = \frac{1}{0{,}25^2} = 16\,\text{min}^2, \qquad \sigma = 4\,\text{min}

Länger als die mittlere Zeit dauert ein Kunde mit Wahrscheinlichkeit $e^{-0{,}25 \cdot 4} = e^{-1} \approx 0{,}3679$ , kürzer mit $1 - e^{-1} \approx 0{,}6321$ .

Fallen Geräte mit einer Rate von $0{,}002$ pro Stunde aus, ist die mittlere Lebensdauer $\frac{1}{0{,}002} = 500$ Stunden.

Typische Fehler

$E(X) = \lambda$ wie bei der Poisson-Verteilung ansetzen. Bei der Exponentialverteilung ist $\lambda$ die Rate, die mittlere Wartezeit ist $\frac{1}{\lambda}$ .
Die Varianz als $\frac{1}{\lambda}$ angeben. Die Varianz ist $\frac{1}{\lambda^2}$ , die Standardabweichung $\frac{1}{\lambda}$ .
Annehmen, die Hälfte der Werte liege unter dem Erwartungswert. Das gilt für den Median $\frac{\ln 2}{\lambda}$ , nicht für $E(X)$ .

Erwartungswert und Varianz der Exponentialverteilung