Momenterzeugende Funktion

Studium

M_X(t) = E\left(e^{tX}\right), \qquad E\left(X^k\right) = M_X^{(k)}(0)

Voraussetzung: $M_X(t) < \infty$ $für alle$ $t$ $in einem offenen Intervall um$ $0,$ $k \in \mathbb{N}$

$M_X(t)$: momenterzeugende Funktion der Zufallsgröße X an der Stelle t
$X$: Zufallsgröße
$t$: reelle Hilfsvariable
$E(X^k)$: k-tes Moment von X
$M_X^{(k)}(0)$: k-te Ableitung der momenterzeugenden Funktion an der Stelle 0
$k$: Ordnung des Moments

Die momenterzeugende Funktion E(e^(tX)) liefert durch Ableiten an der Stelle 0 alle Momente einer Zufallsgröße.

Erklärung

Die momenterzeugende Funktion fasst alle Momente $E(X), E(X^2), E(X^3), \ldots$ einer Zufallsgröße in einer einzigen Funktion zusammen. Entwickelt man $e^{tX}$ in die Exponentialreihe, sieht man, warum:

M_X(t) = E\left(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{t^k X^k}{k!}\right) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{E(X^k)}{k!}\, t^k

Die Momente sind also die Taylor-Koeffizienten (mal $k!$ ) an der Stelle $0$ . Insbesondere gilt $E(X) = M_X'(0)$ und $V(X) = M_X''(0) - \big(M_X'(0)\big)^2$ .

Wichtige Eigenschaften:

Eindeutigkeit: Existiert $M_X$ in einer Umgebung von $0$ , bestimmt sie die Verteilung von $X$ eindeutig.
Summen: Für unabhängige $X, Y$ ist $M_{X+Y}(t) = M_X(t) \cdot M_Y(t)$ .
Lineare Transformation: $M_{aX+b}(t) = e^{bt}\, M_X(at)$ .

Häufige momenterzeugende Funktionen:

Verteilung	$M_X(t)$
Bernoulli( $p$ )	$1 - p + p\,e^t$
Binomial( $n$ , $p$ )	$(1 - p + p\,e^t)^n$
Poisson( $\lambda$ )	$e^{\lambda(e^t - 1)}$
Exponential( $\lambda$ )	$\frac{\lambda}{\lambda - t}$ für $t < \lambda$
Normal( $\mu$ , $\sigma^2$ )	$e^{\mu t + \sigma^2 t^2/2}$

Beispiele

Poisson-Verteilung mit $\lambda = 3$ : $M(t) = e^{3(e^t - 1)}$ . Ableiten ergibt $M'(t) = 3e^t M(t)$ und $M''(t) = (3e^t + 9e^{2t})\,M(t)$ , also

E(X) = M'(0) = 3, \qquad E(X^2) = M''(0) = 12, \qquad V(X) = 12 - 3^2 = 3

Exponentialverteilung mit $\lambda = 2$ : $M(t) = \frac{2}{2 - t}$ , also $M'(t) = \frac{2}{(2 - t)^2}$ und $M''(t) = \frac{4}{(2 - t)^3}$ . Damit $E(X) = \frac{2}{4} = 0{,}5$ , $E(X^2) = \frac{4}{8} = 0{,}5$ und $V(X) = 0{,}5 - 0{,}25 = 0{,}25$ .

Summen: Sind $X$ und $Y$ unabhängig Poisson-verteilt mit $a$ und $b$ , dann ist $M_X(t)\,M_Y(t) = e^{(a+b)(e^t - 1)}$ . Wegen der Eindeutigkeit ist $X + Y$ Poisson-verteilt mit $a + b$ .

Typische Fehler

An der falschen Stelle ableiten. Die Momente erhält man an $t = 0$ , nicht an $t = 1$ .
$M_X''(0)$ für die Varianz halten. $M_X''(0)$ ist $E(X^2)$ , die Varianz ist $M_X''(0) - \big(M_X'(0)\big)^2$ .
Die Produktregel $M_{X+Y} = M_X \cdot M_Y$ ohne Unabhängigkeit verwenden.
Den Definitionsbereich übersehen. Bei der Exponentialverteilung existiert $M_X(t)$ nur für $t < \lambda$ , bei manchen Verteilungen (z.B. t-Verteilung) gar nicht in einer Umgebung von $0$ .

Momenterzeugende Funktion