Hypothesentest

Oberstufe

P_{p_0}(X \in \overline{A}) \leq \alpha

Voraussetzung: $X$ $unter$ $H_0$ $binomialverteilt mit$ $n$ $und$ $p_0,$ $0 < \alpha < 1$

$H_0$: Nullhypothese, die Annahme über die Trefferwahrscheinlichkeit, die geprüft wird
$p_0$: Trefferwahrscheinlichkeit laut Nullhypothese
$X$: Testgröße, die Anzahl der Treffer in der Stichprobe
$n$: Stichprobenumfang
$\overline{A}$: Ablehnungsbereich, die Werte von X, bei denen man H₀ verwirft
$\alpha$: Signifikanzniveau, die höchstens erlaubte Irrtumswahrscheinlichkeit
$P_{p_0}$: Wahrscheinlichkeit, berechnet mit p = p₀

Ein Hypothesentest verwirft H₀, wenn das Ergebnis in einem Bereich liegt, der unter H₀ höchstens mit Wahrscheinlichkeit α vorkommt.

Erklärung

Mit einem Hypothesentest entscheidet man anhand einer Stichprobe, ob eine Annahme über eine unbekannte Trefferwahrscheinlichkeit $p$ verworfen wird. Die Annahme heißt Nullhypothese $H_0$ , die Gegenannahme Alternative $H_1$ .

Man legt vorher einen Ablehnungsbereich $\overline{A}$ fest. Fällt die Trefferzahl dort hinein, verwirft man $H_0$ . Der Bereich wird so gewählt, dass dies bei gültiger Nullhypothese höchstens mit der Wahrscheinlichkeit $\alpha$ passiert, dem Signifikanzniveau (oft $5\,\%$ oder $1\,\%$ ).

Ablauf eines Tests mit einer binomialverteilten Testgröße:

Hypothesen aufstellen, z.B. $H_0\colon p \leq p_0$ gegen $H_1\colon p > p_0$ .
Testgröße $X$ , Stichprobenumfang $n$ und Signifikanzniveau $\alpha$ festlegen.
Art des Tests bestimmen: rechtsseitig (große Werte sprechen gegen $H_0$ ), linksseitig (kleine Werte) oder zweiseitig.
Den Ablehnungsbereich mit $p = p_0$ so groß wie möglich wählen, sodass $P_{p_0}(X \in \overline{A}) \leq \alpha$ gilt.
Entscheidungsregel formulieren, Stichprobe auswerten, Ergebnis im Sachzusammenhang formulieren.

Alle Schritte bis zur Entscheidungsregel müssen vor der Auswertung der Stichprobe feststehen. Ein Test beweist nichts: Wer $H_0$ verwirft, kann sich irren (Fehler 1. Art), und wer $H_0$ nicht verwirft, hat sie damit nicht bestätigt.

Beispiele

Ein bisheriges Medikament wirkt bei $60\,\%$ der Patienten. Ein Hersteller behauptet, sein neues Mittel wirke besser. Es wird an $n = 50$ Personen getestet, $X$ ist die Anzahl der Personen, bei denen es wirkt.

Hypothesen: $H_0\colon p \leq 0{,}6$ , $H_1\colon p > 0{,}6$ . Gerechnet wird mit dem Randwert $p_0 = 0{,}6$ .
Viele Erfolge sprechen gegen $H_0$ , der Test ist rechtsseitig: $\overline{A} = \{k; \ldots; 50\}$ .
Erwartet werden unter $H_0$ etwa $50 \cdot 0{,}6 = 30$ Erfolge.

Gesucht ist das kleinste $k$ mit $P(X \geq k) \leq 0{,}05$ :

P(X \geq 36) \approx 0{,}0540 > 0{,}05, \qquad P(X \geq 37) \approx 0{,}0280 \leq 0{,}05

Entscheidungsregel: Wirkt das Mittel bei mindestens $37$ von $50$ Personen, wird $H_0$ verworfen, und man geht von einer besseren Wirkung aus. Die Irrtumswahrscheinlichkeit beträgt dabei höchstens $2{,}8\,\%$ .

Typische Fehler

Die Hypothesen vertauschen. Was man nachweisen möchte, gehört in $H_1$ , denn nur das Verwerfen von $H_0$ ist eine abgesicherte Aussage.
Den Ablehnungsbereich erst nach dem Blick auf die Daten festlegen. Dann stimmt das Signifikanzniveau nicht mehr.
$P(X \geq 37)$ mit $1 - P(X \leq 37)$ berechnen. Richtig ist $1 - P(X \leq 36)$ .
Das Nicht-Verwerfen als Beweis für $H_0$ deuten. Es heißt nur, dass die Daten nicht deutlich genug dagegen sprechen.

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Typische Fehler

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