Poisson-Näherung der Binomialverteilung

Studium

\binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n-k} \approx \frac{\lambda^k}{k!}\, e^{-\lambda}, \qquad \lambda = n p

Voraussetzung: $n$ $groß$ $,$ $p$ $klein (Faustregel:$ $n \geq 50,\ p \leq 0{,}1),$ $k \in \{0, 1, \ldots, n\}$

$n$: Anzahl der unabhängigen Versuche
$p$: Trefferwahrscheinlichkeit pro Versuch
$k$: Anzahl der Treffer
$\lambda$: Erwartungswert der Trefferzahl, λ = n·p
$e$: Eulersche Zahl, etwa 2,718

Bei vielen Versuchen mit kleiner Trefferwahrscheinlichkeit lässt sich die Binomialverteilung durch die Poisson-Verteilung mit λ = n·p ersetzen.

Erklärung

Bei sehr vielen Versuchen ( $n$ groß) mit seltenen Treffern ( $p$ klein) ist die Binomialverteilung mühsam zu berechnen, weil große Binomialkoeffizienten und kleine Potenzen zusammenkommen. Die Poisson-Näherung ersetzt sie durch die Poisson-Verteilung mit demselben Erwartungswert $\lambda = n p$ .

Grundlage ist der Poissonsche Grenzwertsatz: Lässt man $n \to \infty$ und $p \to 0$ so laufen, dass $n p = \lambda$ fest bleibt, dann gilt für jedes feste $k$

\binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n-k} \to \frac{\lambda^k}{k!}\, e^{-\lambda}

Der entscheidende Schritt ist $\left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^n \to e^{-\lambda}$ .

Faustregel: $n \geq 50$ und $p \leq 0{,}1$ (manche Bücher verlangen zusätzlich $n p \leq 10$ ). Eine Fehlerschranke liefert die Ungleichung von Le Cam: Die Summe der Abweichungen über alle $k$ ist kleiner als $2 n p^2$ . Die Näherung ist also gut, wenn $p$ klein ist, auch bei mäßig großem $n$ .

Im Gegensatz zur Näherung von Moivre-Laplace (große Varianz, beliebiges $p$ ) ist die Poisson-Näherung für den Fall seltener Ereignisse gedacht.

Beispiele

Ein Online-Shop verschickt $n = 200$ Pakete, jedes geht mit $p = 0{,}01$ verloren. Es ist $\lambda = 200 \cdot 0{,}01 = 2$ .

Kein Paket geht verloren:

\text{exakt: } 0{,}99^{200} \approx 0{,}1340, \qquad \text{Näherung: } e^{-2} \approx 0{,}1353

Höchstens zwei Pakete gehen verloren:

P(X \leq 2) \approx e^{-2} \left(1 + 2 + \frac{2^2}{2}\right) = 5 \cdot e^{-2} \approx 0{,}6767

Die exakte Binomialrechnung liefert auf vier Stellen ebenfalls $0{,}6767$ . Die Schranke von Le Cam ist $2 \cdot 200 \cdot 0{,}01^2 = 0{,}04$ .

Gegenbeispiel: Für $n = 20$ und $p = 0{,}3$ (also $\lambda = 6$ ) ist exakt $P(X = 6) \approx 0{,}1916$ , die Poisson-Näherung $\frac{6^6}{6!}\,e^{-6} \approx 0{,}1606$ liegt deutlich daneben. Hier ist $p$ zu groß.

Typische Fehler

Die Näherung bei großem $p$ verwenden. Dann ist die Varianz $n p (1 - p)$ deutlich kleiner als $\lambda$ , und die Poisson-Verteilung streut zu stark.
$\lambda$ falsch bilden, z.B. als $\frac{n}{p}$ oder $p$ statt $n \cdot p$ .
Die Poisson-Näherung mit der Normalverteilungsnäherung verwechseln. Bei kleinem $\lambda$ ist die Verteilung stark schief, die Normalverteilung passt dann schlecht.

Poisson-Näherung der Binomialverteilung