Erwartungswert einer stetigen Zufallsgröße

Oberstufe

E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x)\,\mathrm{d}x

Voraussetzung: $X$ $stetig mit Dichte$ $f,$ $\int_{-\infty}^{\infty} |x| \cdot f(x)\,\mathrm{d}x < \infty$

$E(X)$: Erwartungswert der Zufallsgröße X, oft auch μ geschrieben
$X$: stetige Zufallsgröße
$f$: Dichtefunktion von X
$x$: Integrationsvariable, ein möglicher Wert von X

Der Erwartungswert einer stetigen Zufallsgröße ist das Integral über x mal Dichte, der Schwerpunkt der Verteilung.

Erklärung

Der Erwartungswert gibt an, welchen Wert die Zufallsgröße im Mittel annimmt. Bei diskreten Größen bildet man die Summe $\sum x_i \cdot P(X = x_i)$ . Bei stetigen Größen wird aus der Summe ein Integral und aus der Wahrscheinlichkeit die Dichte $f(x)$ .

Anschaulich ist $E(X)$ der Schwerpunkt der Fläche unter der Dichte. Ist die Dichte symmetrisch zu einer Stelle, liegt der Erwartungswert genau dort.

Die Varianz berechnet man entsprechend:

V(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - \mu)^2 f(x)\,\mathrm{d}x = E(X^2) - \mu^2, \qquad E(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x)\,\mathrm{d}x

Ist $f$ außerhalb eines Intervalls $[a; b]$ null, integriert man nur von $a$ bis $b$ . Die Bedingung mit $|x|$ sorgt dafür, dass das Integral existiert; bei Dichten auf einem beschränkten Intervall ist sie immer erfüllt.

Beispiele

$X$ habe die Dichte $f(x) = 0{,}5x$ auf $[0; 2]$ , sonst $0$ :

E(X) = \int_0^2 x \cdot 0{,}5x\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^3}{6}\right]_0^2 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \approx 1{,}33

Für die Varianz: $E(X^2) = \int_0^2 0{,}5x^3\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^4}{8}\right]_0^2 = 2$ , also

V(X) = 2 - \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{2}{9}, \qquad \sigma = \sqrt{\frac{2}{9}} \approx 0{,}47

Wartezeit, gleichverteilt auf $[0; 10]$ mit $f(x) = 0{,}1$ : $E(X) = \int_0^{10} 0{,}1x\,\mathrm{d}x = \frac{10^2}{20} = 5$ .

Typische Fehler

Nur die Dichte integrieren. $\int f(x)\,\mathrm{d}x$ ergibt immer $1$ ; für den Erwartungswert braucht man den Faktor $x$ .
Bei der Varianz $E(X)^2$ statt $E(X^2)$ berechnen oder $\mu^2$ vergessen.
Die Grenzen falsch setzen und über Bereiche integrieren, in denen $f$ gleich $0$ ist, aber mit der Formel von $f$ weiterrechnen.

Erwartungswert einer stetigen Zufallsgröße