Varianz bei linearer Transformation

Studium

\operatorname{Var}(aX + b) = a^2 \operatorname{Var}(X)

Voraussetzung: $a, b \in \mathbb{R},$ $\operatorname{Var}(X)$ $existiert$

$\operatorname{Var}(X)$: Varianz der Zufallsgröße X, in der Schule oft V(X)
$X$: Zufallsgröße
$a$: Streckfaktor
$b$: Verschiebung

Eine Verschiebung um b ändert die Varianz nicht, ein Faktor a geht quadriert ein.

Erklärung

Wird eine Zufallsgröße linear umgerechnet, $Y = aX + b$ , dann gilt:

Die Verschiebung $b$ ändert die Varianz nicht. Alle Werte und der Erwartungswert verschieben sich gleich, die Abweichungen bleiben.
Der Faktor $a$ geht quadriert ein, weil die Varianz aus quadrierten Abweichungen besteht.

Für die Standardabweichung folgt

\sigma(aX + b) = |a| \cdot \sigma(X)

Herleitung: Mit $E(aX + b) = a\,E(X) + b$ ist $aX + b - E(aX + b) = a\,(X - E(X))$ . Quadrieren und Erwartungswert bilden liefert $a^2 \operatorname{Var}(X)$ .

Für eine Summe zweier Zufallsgrößen gilt allgemein $\operatorname{Var}(X + Y) = \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y) + 2\operatorname{Cov}(X, Y)$ . Nur bei unkorrelierten (z.B. unabhängigen) $X$ und $Y$ fällt der letzte Summand weg.

Beispiele

Die Tagestemperatur $C$ in Grad Celsius hat die Standardabweichung $2$ , also $\operatorname{Var}(C) = 4$ . In Fahrenheit ist $F = 1{,}8\,C + 32$ :

\operatorname{Var}(F) = 1{,}8^2 \cdot 4 = 12{,}96, \qquad \sigma(F) = \sqrt{12{,}96} = 1{,}8 \cdot 2 = 3{,}6

Die $+32$ spielt keine Rolle.

Augenzahl $X$ eines Würfels mit $\operatorname{Var}(X) = \frac{35}{12}$ . Für den Gewinn $2X - 3$ :

\operatorname{Var}(2X - 3) = 2^2 \cdot \frac{35}{12} = \frac{35}{3} \approx 11{,}67

Typische Fehler

Den Faktor nicht quadrieren. $\operatorname{Var}(2X - 3) = 2 \cdot \frac{35}{12} = \frac{35}{6}$ ist falsch.
Die Verschiebung mitnehmen, also $\operatorname{Var}(aX + b) = a^2 \operatorname{Var}(X) + b$ oder $+ b^2$ schreiben.
Bei negativem $a$ eine negative Varianz oder Standardabweichung angeben. Es ist $\operatorname{Var}(-X) = (-1)^2 \operatorname{Var}(X) = \operatorname{Var}(X)$ und $\sigma(-X) = \sigma(X)$ .
$\operatorname{Var}(X + X) = 2\operatorname{Var}(X)$ annehmen. Da $X$ mit sich selbst vollständig korreliert ist, gilt $\operatorname{Var}(2X) = 4\operatorname{Var}(X)$ .

Varianz bei linearer Transformation