Konfidenzintervall für einen Anteil

Erklärung

Ein unbekannter Anteil $p$ (z.B. der Stimmenanteil einer Partei) soll aus einer Stichprobe geschätzt werden. In der Stichprobe vom Umfang $n$ beobachtet man die relative Häufigkeit $h$. Da $h$ zufällig schwankt, gibt man statt eines einzelnen Werts ein Konfidenzintervall an.

Der Faktor $z$ legt das Konfidenzniveau fest (vgl. Sigma-Regeln):

• $z = 1{,}64$ für $90\,\%$ (genauer $1{,}645$)
• $z = 1{,}96$ für $95\,\%$
• $z = 2{,}58$ für $99\,\%$ (genauer $2{,}576$)

Vorausgesetzt wird eine zufällige Stichprobe mit unabhängigen Beobachtungen. Der Wurzelausdruck schätzt die Standardabweichung der relativen Häufigkeit. Die Formel beruht auf der Näherung durch die Normalverteilung und ist nur brauchbar, wenn $n \cdot h \cdot (1-h) > 9$ gilt (Laplace-Bedingung $\sigma > 3$).

Das Konfidenzniveau bezieht sich auf das Verfahren, nicht auf das eine berechnete Intervall: Bei häufiger Wiederholung überdeckt es in etwa $95\,\%$ der Fälle den wahren Anteil $p$. Ob $p$ in genau diesem Intervall liegt, ist entweder wahr oder falsch.

Die Breite schrumpft mit $\frac{1}{\sqrt{n}}$: Für ein halb so breites Intervall braucht man die vierfache Stichprobe.

Hinweis: Manche Lehrbücher bestimmen die Grenzen genauer, indem sie die Ungleichung $|h - p| \leq z\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ nach $p$ auflösen. Bei großem $n$ unterscheiden sich beide Ergebnisse kaum.

Beispiele

Bei einer Umfrage unter $n = 1000$ Personen sind $420$ für einen Vorschlag, also $h = 0{,}42$. Bedingung: $1000 \cdot 0{,}42 \cdot 0{,}58 = 243{,}6 > 9$. Für $95\,\%$:

Das $95\,\%$-Konfidenzintervall für den Anteil der Befürworter reicht also von etwa $38{,}9\,\%$ bis $45{,}1\,\%$.

Bei $4000$ Befragten und gleichem $h$ wäre der Radius nur noch $1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{0{,}42 \cdot 0{,}58}{4000}} \approx 0{,}015$.

Typische Fehler

• Das Konfidenzniveau falsch deuten. Nicht $p$ ist zufällig, sondern das Intervall. Gemeint ist: Das Verfahren liefert in etwa $95\,\%$ aller Stichproben ein Intervall, das $p$ enthält.
• $n$ im Nenner unter der Wurzel vergessen. Dann ist das Intervall viel zu breit.
• Die absolute Trefferzahl ($420$) statt der relativen Häufigkeit ($0{,}42$) einsetzen.
• Die Bedingung $n \cdot h \cdot (1-h) > 9$ bei kleinen Stichproben nicht prüfen.