Standardisierung

Erklärung

Die Standardisierung macht Werte aus ganz verschiedenen Verteilungen vergleichbar. Man zieht den Erwartungswert ab und teilt durch die Standardabweichung. Der z-Wert sagt dann:

• $z = 0$: Der Wert liegt genau bei $\mu$.
• $z > 0$: Der Wert liegt um $z$ Standardabweichungen über $\mu$, bei $z < 0$ entsprechend darunter.

Wichtigste Anwendung: Ist $X$ normalverteilt mit $\mu$ und $\sigma$, dann ist $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ standardnormalverteilt ($\mu = 0$, $\sigma = 1$). Deshalb genügt eine einzige Tabelle der Verteilungsfunktion $\Phi$:

Umgekehrt erhält man aus einem z-Wert den ursprünglichen Wert mit $x = \mu + z \cdot \sigma$.

Beispiele

Eine Klausur hat den Mittelwert $\mu = 70$ Punkte und die Standardabweichung $\sigma = 8$ Punkte. Lea hat $82$ Punkte:

In einer anderen Klausur ($\mu = 65$, $\sigma = 5$) hat Tom $75$ Punkte, also $z = \frac{75 - 65}{5} = 2$. Im Vergleich zu den jeweiligen Mitschreibenden hat Tom besser abgeschnitten, obwohl er weniger Punkte hat.

Sind die Punkte normalverteilt, liegt Lea vor etwa $\Phi(1{,}5) \approx 0{,}9332$, also gut $93\,\%$ aller Ergebnisse. Ein Ergebnis über Toms Wert hat nur die Wahrscheinlichkeit $1 - \Phi(2) \approx 0{,}0228$.

Rückrechnung: Bei $\mu = 100$ und $\sigma = 15$ gehört zu $z = -1{,}2$ der Wert $x = 100 + (-1{,}2) \cdot 15 = 82$.

Typische Fehler

• Durch die Varianz statt durch die Standardabweichung teilen. $\frac{82 - 70}{64} = 0{,}1875$ ist falsch.
• Die Reihenfolge im Zähler vertauschen ($\mu - x$). Dann stimmt das Vorzeichen nicht, und $\Phi$ liefert den falschen Wert.
• $\Phi(z)$ als Wahrscheinlichkeit für „größer als“ lesen. $\Phi(z)$ ist immer $P(Z \leq z)$; für „größer“ rechnet man $1 - \Phi(z)$.