Normalverteilung

Oberstufe

\varphi_{\mu,\sigma}(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \, e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)^2}

Voraussetzung: $\mu \in \mathbb{R},$ $\sigma > 0$

$\varphi_{\mu,\sigma}(x)$: Wert der Dichtefunktion an der Stelle x
$x$: beliebige reelle Zahl, ein möglicher Wert der Zufallsgröße
$\mu$: Erwartungswert, Lage des Hochpunkts der Glockenkurve
$\sigma$: Standardabweichung, bestimmt die Breite der Kurve
$e$: Eulersche Zahl, etwa 2,718

Die Dichte der Normalverteilung ist die Gaußsche Glockenkurve mit Hochpunkt bei μ und Breite σ.

Erklärung

Viele Größen streuen zufällig um einen Mittelwert, z.B. Körpergrößen, Messfehler oder Füllmengen. Ihre Verteilung hat oft die Form einer Glockenkurve. Eine Zufallsgröße mit genau dieser Form heißt normalverteilt mit den Parametern $\mu$ und $\sigma$ .

Die Formel beschreibt die Dichtefunktion $\varphi_{\mu,\sigma}$ :

Sie ist symmetrisch zur Geraden $x = \mu$ und hat dort ihren Hochpunkt mit dem Wert $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$ .
Ihre Wendestellen liegen bei $\mu - \sigma$ und $\mu + \sigma$ . Je größer $\sigma$ , desto flacher und breiter ist die Kurve.
Die gesamte Fläche unter der Kurve ist $1$ .

Eine normalverteilte Zufallsgröße ist stetig. Wahrscheinlichkeiten sind deshalb Flächen unter der Kurve:

P(a \leq X \leq b) = \int_a^b \varphi_{\mu,\sigma}(x)\,\mathrm{d}x

Dieses Integral hat keine elementare Stammfunktion. Man bestimmt es mit dem Taschenrechner (Verteilungsfunktion) oder über Standardisierung und eine Tabelle der Standardnormalverteilung ( $\mu = 0$ , $\sigma = 1$ ).

Beispiele

Für die Standardnormalverteilung ( $\mu = 0$ , $\sigma = 1$ ) ist der Hochpunkt

\varphi_{0,1}(0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}3989

Ein Testwert sei normalverteilt mit $\mu = 100$ und $\sigma = 15$ . Dichte am Hochpunkt und eine Standardabweichung daneben:

\varphi(100) = \frac{1}{15\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}0266, \qquad \varphi(115) = \frac{1}{15\sqrt{2\pi}} \, e^{-\frac{1}{2}} \approx 0{,}0161

Die Wahrscheinlichkeit für einen Wert zwischen $85$ und $115$ ist die Fläche darunter. Der Taschenrechner liefert $P(85 \leq X \leq 115) \approx 0{,}683$ .

Typische Fehler

Den Funktionswert als Wahrscheinlichkeit lesen. $\varphi(100) \approx 0{,}0266$ ist keine Wahrscheinlichkeit; für jeden einzelnen Wert gilt $P(X = 100) = 0$ .
$\sigma^2$ statt $\sigma$ einsetzen. Die Angabe $N(\mu, \sigma^2)$ nennt die Varianz. Bei $N(100, 225)$ ist $\sigma = 15$ .
Das Minus im Exponenten oder den Faktor $\frac{1}{2}$ vergessen.
Bei diskreten Größen (z.B. Anzahlen) die Normalverteilung ohne Prüfung verwenden. Für die Näherung einer Binomialverteilung braucht man $\sigma > 3$ .

Normalverteilung