Permutationen

Erklärung

Eine Permutation ist eine Anordnung von Objekten in einer bestimmten Reihenfolge. Sind $n$ Objekte alle verschieden, gibt es

Möglichkeiten. Man liest $n!$ als „$n$ Fakultät“.

Warum? Für den ersten Platz gibt es $n$ Möglichkeiten, für den zweiten nur noch $n - 1$, für den dritten $n - 2$ und so weiter. Nach dem Zählprinzip (Produktregel) werden diese Anzahlen multipliziert.

Festgelegt ist $0! = 1$: Für null Objekte gibt es genau eine Anordnung, nämlich keine. Fakultäten wachsen sehr schnell, schon $10!$ ist über drei Millionen.

Beispiele

Vier Freunde stellen sich für ein Foto nebeneinander auf:

Stellt man sie zufällig auf, ist eine bestimmte Reihenfolge also mit Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{24}$ dabei.

Sechs verschiedene Bücher lassen sich auf $6! = 720$ Arten ins Regal stellen. Bei zehn Läuferinnen gibt es $10! = 3\,628\,800$ mögliche Zieleinläufe (ohne Gleichstand).

Typische Fehler

• $n \cdot n$ oder $n^n$ rechnen. Jedes Objekt kann nur einmal vorkommen, deshalb sinkt die Anzahl der Möglichkeiten mit jedem Platz.
• $n!$ verwenden, obwohl gleiche Objekte dabei sind. Die Buchstaben von ANNA ergeben nicht $4! = 24$, sondern nur $\frac{4!}{2! \cdot 2!} = 6$ verschiedene Wörter, weil sich die beiden A und die beiden N nicht unterscheiden.
• $n!$ verwenden, obwohl nur ein Teil der Objekte angeordnet wird. Für „wie viele Möglichkeiten gibt es für die ersten drei Plätze von 10“ rechnet man $10 \cdot 9 \cdot 8$, nicht $10!$.
• $0! = 0$ annehmen. Richtig ist $0! = 1$.